dlaczego 0,(9) jest równe 1?

[tukanik]

Witam,
Tak jak w temacie. Nie chodzi mi o sposób pokazania tego, ale jakieś proste wyjaśnienie, dlaczego tak jest?
Bo na chłopski rozum \(\displaystyle{ 0,9999999999999999999999999999999999999(9)}\) nie osiąga jedynki, bo w końcu coś tam brakuje do tej jedynki .

[szw1710]

\(\displaystyle{ x=0.(9)\\ 10x=9.(9)\\ 10x=9+x\\ 9x=9\\ x=1}\)

[wujomaro]

Albo inaczej:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}=0,(3) \\ \frac{3}{3} = 3 \cdot 0,(3) = 0,(9) \\ \frac{3}{3} =3 : 3=1 \\ 0,(9)=1}\)
Pozdrawiam!

[777Lolek]

Kiedyś usłyszałem coś takiego, że jeśli między dwie liczby nie można wstawić żadnej liczby wymiernej (takiej którą można przedstawić za pomocą ilorazu dwóch liczb całkowitych) to te liczby są sobie równe.

[Ponewor]

Myślę, że fakt podany przez Ciebie można uogólnić czyli jeśli między dwie liczby nie można wstawić żadnej liczby rzeczywistej, to te liczby są sobie równe.
tukanik jak mamy Ci powiedzieć dlaczego tak jest? Przeanalizuj pokazane dowody i będziesz wiedział. To jest matematyka tego nie pomalujesz Ta równość zachodzi dlatego, że tak wynika z tych dowodów, a nie na odwrót. I popełniasz błąd przykładając zdrowy chłopski rozum do pojęcia nieskończoności

w końcu coś tam brakuje

a no właśnie nie ma tego końca.

[szw1710]

Ponewor, trochę się nie zgodzę. Matematyka to pewien stan umysłu, gotowość na abstrakcyjne myślenie, lecz głęboko zakorzenione w praktyce. Nie analiza dowodu dostarcza argumentu, dlaczego jest tak, a nie inaczej. To właśnie intuicja odpowiada za większość matematycznych odkryć. Kiedyś pisałem jak matematyk pracuje. Dopasowuje, szuka równocześnie dowodu i kontrprzykładu, rozumuje nie do końca formalnie, a gdy mu coś wyjdzie, dopiero wtedy szuka w pełni formalnego i poprawnego dowodu. Dowód jest więc rozumowaniem post factum, a intuicja jest ante factum.

W omawianym przypadku "chłopski rozum" w odniesieniu do nieskończoności jak najbardziej działa. Przecież mamy \(\displaystyle{ 0.9}\), dodajemy kawałek \(\displaystyle{ 0.09}\), potem dalej i do czego to się ma wysumować? Gołym okiem widać, że to jedynka. Matematyka zaczyna się dalej, tzn. np. dlaczego moje rozumowanie jest sluszne, tj. dlaczego można wykonać nieskończone dodawanie

\(\displaystyle{ 0.9+0.09+0.009+\dots}\)

(czyli dlaczego odpowiedni szereg jest zbieżny). Ale nie odbierajmy adeptom matematyki dzieciństwa. Na razie niech przyjmą "na wiarę", że to się da oglądając piękno matematyki na przedstawionych trickach. Zrozumienie dogłębne przyjdzie później.

[tukanik]

dzięki za odpowiedzi

[mat_61]

W omawianym przypadku "chłopski rozum" w odniesieniu do nieskończoności jak najbardziej działa. Przecież mamy \(\displaystyle{ 0.9}\), dodajemy kawałek \(\displaystyle{ 0.09}\), potem dalej i do czego to się ma wysumować? Gołym okiem widać, że to jedynka.

Gdyby to było dla każdego takie oczywiste i widoczne gołym okiem, to nie byłoby tego, 7-stronicowego wątku (nie jedynego na tym forum dla tego problemu) https://www.matematyka.pl/20240.htm zkończonego takim postem:

Dajcie spokój, jak ktoś wierzy, że \(\displaystyle{ 1\neq 0,(9)}\), to nic go nie przekona...

JK

[szw1710]

Gołym okiem widzi to osoba z kulturą matematyczną. Nie mylić z osobistą. Oczywiście adeptowi należy to jakoś wytłumaczyć, przybliżyć. I to zrobiłem w tym wątku - na podstawowym poziomie tłumacząc później dlaczego nie wdawałem się w zbytnie szczegóły.