Kongruencje trzeciego stopnia

anq_ · Post autor: **anq_** » 8 lis 2012, o 17:27

Witam.
W jaki sposób można rozwiązywać kongruencję takiego typu:
\(\displaystyle{ 2x^3+5x^2+4x+1 \equiv 0 \pmod{9}}\)?

Zordon · Post autor: **Zordon** » 8 lis 2012, o 17:53

To zależy co rozumiesz przez "takiego typu". W tym konkretnym przypadku najszybciej sprawdzić wszystkie możliwości.

anq_ · Post autor: **anq_** » 8 lis 2012, o 18:40

czyli podstawiać pod x liczby od 0 do 8? A co w wypadku gdyby np. bylo mod 40 albo mod 100?

Zordon · Post autor: **Zordon** » 8 lis 2012, o 19:01

Wtedy jest dużo trudniej. Np. jeśli mamy \(\displaystyle{ 100=2^2\cdot 5^2}\) to można skorzystać z chińskiego twierdzenia o resztach. Potem rozwiązać równanie w \(\displaystyle{ Z_p}\) (dla p=2,5) a następnie podnieść je do \(\displaystyle{ Z_{p^2}}\) przy użyciu lematu Hensela.

anq_ · Post autor: **anq_** » 8 lis 2012, o 21:40

Dziekuje za odpowiedz, musze troche doczytac:) Jeszcze jedno jak znajde 3 rozwiazania dla kongurencji trzeciego stopnia to moge przestac sprawdzac dalej?

Zordon · Post autor: **Zordon** » 8 lis 2012, o 22:21

Jeśli jest modulo liczba pierwsza to tak, natomiast ogólnie nie. Przykładowo \(\displaystyle{ x^3=0\pmod{8}}\) ma 4 rozwiązania.