Jak można wykazać coś takiego?
Wykaż, że setna potęga dowolnej liczby całkowitej przy dzieleniu przez 125 daje resztę 0 lub 1.
Potęga liczby całkowitej
-
Errichto
- Użytkownik
- Posty: 1629
- Rejestracja: 17 mar 2011, o 18:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suwałki
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 272 razy
Potęga liczby całkowitej
Pewnie da się szybciej, ale taki mój pomysł:
Rozważamy wszystkie możliwe reszty z dzielenia danej liczby przez \(\displaystyle{ 5}\). Dla zera mamy oczywiście podzielność tej potęgi przez \(\displaystyle{ 125}\). A dalej korzystamy z dwumianu Newtona - rozpisujemy \(\displaystyle{ (5k+1)^{100}}\) i zauważamy, że niemal wszystkie wyrazy są podzielne przez \(\displaystyle{ 125}\). Tylko kilka ostatnich będzie miało jakieś reszty. Liczymy sumę tych ostatnich i powinna wyjść jedynka modulo 125. I tak dla każdej reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\).
Rozważamy wszystkie możliwe reszty z dzielenia danej liczby przez \(\displaystyle{ 5}\). Dla zera mamy oczywiście podzielność tej potęgi przez \(\displaystyle{ 125}\). A dalej korzystamy z dwumianu Newtona - rozpisujemy \(\displaystyle{ (5k+1)^{100}}\) i zauważamy, że niemal wszystkie wyrazy są podzielne przez \(\displaystyle{ 125}\). Tylko kilka ostatnich będzie miało jakieś reszty. Liczymy sumę tych ostatnich i powinna wyjść jedynka modulo 125. I tak dla każdej reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\).
