Bardzo ciekawa nierówność

[matematykadlamysl]

Załóżmy, ze (\(\displaystyle{ s_{k}}\)) jest ciagiem liczb rzeczywistych nieujemnych, \(\displaystyle{ s_{1} \le 1}\) , i dla kazdego \(\displaystyle{ k \ge 1}\) spełniona jest nierównosc:
\(\displaystyle{ s_{k+1} \le 2k + 3 \sum_{j=1}^{k} s_{j}}\)

Wykazac, ze \(\displaystyle{ s_{k} < 7^{k}}\) dla wszystkich k naturalnych.

Wskazówka: \(\displaystyle{ 2k<1+2k \le (1+2) ^{k} = 3^{k}}\) na mocy nierównosci Bernoulli’ego.


Nie mam pojęcia jak to zacząć, może coś pomożecie

-- 7 lis 2012, o 21:41 --

Jest ktoś w stanie mi pomóc? To bardzo ważne zadanie dla mnie, a nie wiem jak je rozwiązać...

[Ponewor]

Indukcja
pierwszy krok się zgadza
drugi
\(\displaystyle{ s_{k+1} \le 2k + 3 \sum_{j=1}^{k} s_{j} \le 3^{k}+ 3 \sum_{j=1}^{k} s_{j} < 3^{k}+ 3 \sum_{j=1}^{k} 7^{j}=3^{k}+ 3 \cdot \frac{7^{k+1}}{7-1} = 3^{k}+\frac{7^{k+1}}{2} < 7^{k+1}}\)

[krystian8207]

Czy przejście: \(\displaystyle{ 3^{k}+ 3 \sum_{j=1}^{k} 7^{j}=3^{k}+ 3 \cdot \frac{7^{k+1}}{7-1}}\) jest na pewno prawidłowe?
Przecież \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{k} 7^{j} = 7 \frac{7^{k+1}-1}{7-1}}\).
I do czego potrzebujemy włączenie nierówności \(\displaystyle{ 2k \le 3^{k}}\)?

[Ponewor]

Podany przez ciebie wzór na tą sumę jest błędny. Przelicz i sprawdź, albo przypomnij sobie wzory skróconego mnożenia. Nierówność o której piszesz została wykorzystana na samym początku.

[krystian8207]

Ok poprawny wzór to:
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{k} 7^{j} = 7 \frac{7^{k}-1}{7-1} \neq \frac{7^{k+1}}{7-1}}\)
Wzór podany przez Ciebie nie działa choćby gdy k=1.
A bez wykorzystywania nierówności nie można zrobić tak
\(\displaystyle{ s_{k+1} \le 2k + 3 \sum_{j=1}^{k} s_{j} < 2k + 3 \sum_{j=1}^{k} 7^{j}=2k+ 3 \cdot 7 \frac{7^{k}-1}{7-1} = 2k +\frac{7^{k+1}}{2} - \frac{7}{2}< 7^{k+1}}\) ?
Pytam bo w ogóle nie widzę sensu jej wykorzystywania.

[Ponewor]

O! Wszyscy zapisujemy wzór na tę sumę źle. Ty też Choć później w twoim dowodzie używasz poprawnego. Mój dowód pozostaje poprawny mimo wszystko, bo tamto odejmowanie niczego nie zmienia. Twój dowód jest błędny, bo nie wiesz, czy \(\displaystyle{ k}\) to nie jest jakiś tryliard. Tzn. to widać, że wówczas \(\displaystyle{ 7^{k+1}}\) będą jakieś niewiarygodne liczby, ale u mnie to widać lepiej .

Koniec końców, tak to powinno wyglądać:
\(\displaystyle{ s_{k+1} \le 2k + 3 \sum_{j=1}^{k} s_{j} \le 3^{k}+ 3 \sum_{j=1}^{k} s_{j} < 3^{k}+ 3 \sum_{j=1}^{k} 7^{j}=3^{k}+ 3 \cdot \frac{7^{k+1}-1}{7-1} = 3^{k}-\frac{3}{2}+\frac{7^{k+1}}{2} < 7^{k+1}}\)
Żeby nie pozostawić wątpliwości, jeszcze ostatnia nierówność. Równoważnie:
\(\displaystyle{ 3^{k}-\frac{3}{2}+\frac{7^{k+1}}{2} < 7^{k+1} \Leftrightarrow 3^{k}-\frac{3}{2} < \frac{7^{k+1}}{2} \Leftrightarrow 2 \cdot 3^{k} - 3 < 7^{k+1}}\)
bo \(\displaystyle{ 3^{k}-3<7^k-3<7^{k+1}-21<7^{k+1}}\)