Uzasadnij niewymierność i porównaj liczny

[Gierek]

Cześć, mam kłopot z 2 zadaniami.

1. Porównaj liczby \(\displaystyle{ \sqrt{13} - \sqrt{12}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{12} - \sqrt{11}}\).
Moim pomysłem było porównanie ich kwadratów, skoro oba są dodatnie, ale i tak musiałbym wtedy porównywać liczby \(\displaystyle{ 23 - 2 \sqrt{132}}\) i \(\displaystyle{ 25 - 2 \sqrt{156}}\), czego bez kalkulatora nie zrobię.

2. Uzasadnij niewymierność liczby \(\displaystyle{ \sqrt{3} - \sqrt{2}}\).
Hm, założyłem nie wprost, że jest wymierna, przyrównałem do \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie NWD(p,q)=1, podniosłem obie strony do kwadratu, ale i tak nie jestem w stanie żadnych ciekawych wniosków wyciągnąć

Dzięki za ewentualną pomoc!

[TPB]

Po przyrównaniu do tego ułamka otrzymałem takie cudo: \(\displaystyle{ p^{4}-10p^{2}q^{2}+q^{4}=0}\).
Potraktuj to jak równanie dwukwadratowe zmiennej p i rozwiązując je postaraj się dojść do sprzeczności.
Dla uproszczenia możesz założyć, że \(\displaystyle{ a=p^{2}}\) \(\displaystyle{ b=q^{2}}\). Liczby a i b są oczywiście wymierne.
Szedłbym w tą stronę.

[mat_61]

Wskazówka do 1)

\(\displaystyle{ \sqrt{13} - \sqrt{12}= \frac{1}{\sqrt{13}+ \sqrt{12}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{12} - \sqrt{11}= \frac{1}{\sqrt{12}+ \sqrt{11}}}\)

Porównanie tych ułamków nie powinno być problemem.

[Ponewor]

Podpowiedź do 2. Założenie jest dobre, tylko zanim podnosisz do kwadratu przenieś na drugą stroną pierwiastek z dwóch.

[Gierek]

Niestety dalej nie mogę zrobić drugiego.

Po przeniesieniu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) na drugą stronę i podniesieniu równania do kwadratu, dochodzę po kilku operacjach do postaci:
\(\displaystyle{ p^{2} + 2pq \sqrt{2} -q^{2}=0}\) i nie potrafię wykazać sprzeczności.

[Ponewor]

\(\displaystyle{ \sqrt{3}-\sqrt{2}=\frac{p}{q} \Leftrightarrow \sqrt{3}= \frac{p}{q} +\sqrt{2} \Leftrightarrow 3 = \frac{p^{2}}{q^{2}}+2+\frac{2p\sqrt{2}}{q } \Leftrightarrow \sqrt{2}=\frac{q(1-\frac{p^{2}}{q^{2}})}{2p}}\) co sugeruje nam, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą wymierną - sprzeczność.