Wszystkie automorfizmy w Z

[fuqs]

Mam wyznaczyć wszystkie automorfizmy dla \(\displaystyle{ Z}\)

Przychodzą mi do głowy tylko 2...:

\(\displaystyle{ f: Z \ni x \rightarrow x \in Z}\)

oraz

\(\displaystyle{ f: Z \ni x \rightarrow -x \in Z}\)

[Ein]

I słusznie. Izomorfizm przenosi generator na generator, a te są tylko dwa w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) -- mianowicie \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\). Ponadto, łatwo pokazać, że każdy homomorfizm \(\displaystyle{ \varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}}\) jest postaci \(\displaystyle{ \varphi(x)=kx}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\) jest ustalone. Stąd już Twoja teza wynika łatwo.

[fuqs]

Dzięki, a jesli chodzi o \(\displaystyle{ R}\)? Wg mnie dla \(\displaystyle{ R}\) istnieje tylko 1 automorfizm (tożsamosciowy). Tylko jak to uzasadnic?

[Zordon]

164676.htm

[norwimaj]

Treść trzeba doprecyzować i dopiero wtedy będzie można powiedzieć, które z powyższych rozwiązań jest błędne. Chodzi o automorfizmy grup addytywnych czy automorfizmy pierścieni?