Nierówność z silnią i potęgą

[rafalrutkowski92]

\(\displaystyle{ (n!)^{2} \ge n^{n+1}}\) ,dla \(\displaystyle{ n \ge 7}\)


Umiałbym to zrobić z indukcji, ale potrzebna byłaby mi taka nierówność, która nomen omen nie jestem pewny czy jest prawdziwa:


\(\displaystyle{ n^{n+1} \ge (n+1)^{n}}\) ,dla \(\displaystyle{ n \ge 7}\)

[tometomek91]

\(\displaystyle{ n^{n+1} \ge (n+1)^{n}\\
n \cdot n^n \ge (n+1)^{n}\\
n \ge \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n}\)
dla dużych \(\displaystyle{ n}\) prawa strona jest bliska liczby \(\displaystyle{ e}\), czyli nierówność ok.

[rafalrutkowski92]

Faktycznie, dosyć banalne-zmyliło mnie to, że to dla trzech pierwszych naturalnych nie działało
Dzięki wielkie a temat do zamknięcia