Wykaż następujące nierówności

[damian18833]

a) \(\displaystyle{ \forall(n \in N \wedge n>n_{0}) 2^{n}>n^{16}}\)
b) \(\displaystyle{ \forall N \in \exists n_{0} \in \forall(n \in N \wedge n>n_{0}) n!>N^{n}}\)

[szw1710]

a) Wykaż, że \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{16}}{2^n}=0.}\) Tego rodzaju granice były tu szeroko niedawno analizowane. Maczałem w tym palce (dla łatwiejszego szukania). Stąd trywialnie wynika Twoja teza.

b) Na podobnej jak w a) zasadzie wykaż, że \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{N^n}=+\infty.}\) albo, co na jedno wychodzi, \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{N^n}{n!}=0.}\)