Sprawdzenie czy coś jest ciałem

[myszka9]

Mam do sprawdzenia, czy zbiór liczb rzeczywistych z działaniami :

\(\displaystyle{ x \partial y = x + y + 1}\) i \(\displaystyle{ x \beta y = x + y + xy}\)

jest ciałem.

Mam pytanie jak to sprawdzić? Muszę potraktować każde z tych działań jako addytywne i multiplikatywne?
Jak zapisać, że działanie posiada własność rozdzielności mnożenia względem dodawania?

[norwimaj]

Mam pytanie jak to sprawdzić?

Najłatwiej wskazując izomorfizm do ciała \(\displaystyle{ \RR}\) ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem.

Muszę potraktować każde z tych działań jako addytywne i multiplikatywne?

Zapewne \(\displaystyle{ \partial}\) jest tu dodawaniem, a \(\displaystyle{ \beta}\) mnożeniem.

Jak zapisać, że działanie posiada własność rozdzielności mnożenia względem dodawania?

\(\displaystyle{ (x\partial y)\beta z=\ldots = (x\beta z) \partial (y\beta z).}\)

[myszka9]

Skąd wywnioskowałeś co jest mnożeniem, a co dodawaniem? Dzięki el. neutralnemu?

[norwimaj]

Tak tylko zgadywałem, ale ściśle można to rozstrzygnąć sprawdzając, że równanie \(\displaystyle{ x\partial x=x}\) ma jedno rozwiązanie, a \(\displaystyle{ x\beta x=x}\) ma dwa.