Równanie w Z7

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Równanie w Z7

Post autor: myszka9 »

\(\displaystyle{ 2x^{3} + 3x^{2} + x - 4 = 0}\) w \(\displaystyle{ Z_{7}}\).

\(\displaystyle{ 1, -1, 2, -2, 4, -4}\) nie są pierwiastkami wielomianu, więc pozostaje mi sprawdzić czy wielomian jest większy od zera.

\(\displaystyle{ 2x^{3} + 3x^{2} + x - 4 > 0}\)

Jak to rozpisać?
szw1710

Równanie w Z7

Post autor: szw1710 »

Relacja większości jest określona w zbiorze liczb rzeczywistych. W ciałach na ogół nie, chyba że są uporządkowane. \(\displaystyle{ \ZZ_7}\) nie jest, bo nie ma charakterystyki zero. A więc musisz kolejno podstawiać wartości \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4,5,6}\) i liczyć w \(\displaystyle{ \ZZ_7}\) czyli modulo \(\displaystyle{ 7.}\) Mam wrażenie, że mylisz tu wielomian o współczynnikach z ciała z wielomianem o współczynnikach całkowitych.
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Równanie w Z7

Post autor: myszka9 »

Nie wiem czy dobrze zrozumiałam. Możesz rozwiązać ten przykład? Posłuży mi jako "definicja" .
szw1710

Równanie w Z7

Post autor: szw1710 »

Postępuj zgodnie z moją wskazówką - oblicz wartości wielomianu na wszystkich elementach \(\displaystyle{ \ZZ_7.}\) W końcu to ciało nie ma zbyt wielu elementów. Gotowca nie dam.
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Równanie w Z7

Post autor: myszka9 »

Wielomian nie ma rozwiązania w \(\displaystyle{ Z_{7}}\). Tak?
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Równanie w Z7

Post autor: Sylwek »

To prawda.

Gdyby jednak miał, to po prostu stosujesz twierdzenie Bezout i szukasz dalej tak samo pierwiastków pozostałego wielomianu o stopień niższego. Spróbuj na przykład rozwiązać \(\displaystyle{ x^3 + 5x^2+x+6=0}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_7}\).
ODPOWIEDZ