Grupa abelowa

[myszka9]

Wykazać, że jeśli

\(\displaystyle{ a^{2} = 1}\)

Dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) to \(\displaystyle{ \\G}\) jest grupą abelową.

\(\displaystyle{ a = -1 \vee a = 1}\)

1. Zbiór jest zamknięty na działanie.
2. Czy działanie jest przemienne?

No właśnie! Jak to sprawdzić?

[Vardamir]

Mamy, że \(\displaystyle{ 1}\) jest elementem neutralnym tej grupy.

Weźmy dowolne \(\displaystyle{ a,b \in G}\).

\(\displaystyle{ (ab)^{2}=1 \\
(ab)^{2}=a^{2}b^{2} \\
a\cdot /abab=aabb \\
aabab=aaabb \ , \ ale \ aa=1 \\
bab=abb /\cdot b \\
babb=abbb \ , \ ale \ bb=1 \\
ba=ab}\)

[myszka9]

Jak wyliczyć el. naturalny?

\(\displaystyle{ ( a^{2} -1 ) \cdot e = 0}\)

Poprawny sposób?-- 1 lis 2012, o 14:49 --Jeśli tak to \(\displaystyle{ e = 1}\), gdy \(\displaystyle{ a = 1}\) lub \(\displaystyle{ e = 0}\), gdy \(\displaystyle{ a = -1}\). To skąd wiem, który wziąć?

[Vardamir]

\(\displaystyle{ a = -1 \vee a = 1}\)

Nie możesz tego tak zrobić.

Jeśli dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi \(\displaystyle{ a^2=1}\) to oznacza że \(\displaystyle{ 1}\) jest elementem neutralnym, ponieważ mamy:

\(\displaystyle{ a^2=1 \\
aa=1 /\cdot a^{-1} \\
aaa^{-1}=a^{-1} \ , \ ale \ aa^{-1}=e\\
a^{-1}\cdot /ae=a^{-1} \\
a^{-1}ae=a^{-1}a^{-1} \\
ee=a^{-1}a^{-1} \\
e=a^{-1}a^{-1}}\)

Ale wiemy że dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) mamy \(\displaystyle{ aa=1}\) zatem \(\displaystyle{ e=1}\).

[myszka9]

Nie rozumiem dlaczego : \(\displaystyle{ aa^{-1} = e}\).

Nie powinno być : \(\displaystyle{ a^{2}b=e}\) ?

[Vardamir]

Nie rozumiem dlaczego : \(\displaystyle{ aa^{-1} = e}\).

Nie powinno być : \(\displaystyle{ a^{2}b=e}\) ?

Ale skąd tu wzięłaś \(\displaystyle{ b}\)?

\(\displaystyle{ a^{-1}}\) to element przeciwny do \(\displaystyle{ a}\). Z definicji wiemy więc, że \(\displaystyle{ aa^{-1}=e}\).

Wydaje mi się, że próbujesz interpretować te \(\displaystyle{ a}\) jako niewiadome. A to są elementy grupy \(\displaystyle{ G}\).

[myszka9]

Ok. Dziękuję. A dlaczego : \(\displaystyle{ a \cdot a ^{-1}e = a ^{-1}}\)?

[Vardamir]

Ok. Dziękuję. A dlaczego : \(\displaystyle{ a \cdot a ^{-1}e = a ^{-1}}\)?

Hmm.. nic takiego nie pisałem.
Jeśli chodzi Ci o ten fragment:

\(\displaystyle{ a^{-1}\cdot /ae=a^{-1} \\
a^{-1}ae=a^{-1}a^{-1}}\)

To po prostu pomnożyłem z lewej strony przez element odwrotny.

[myszka9]

Gubię się w tym powoli.

el odwrotny do \(\displaystyle{ a}\) to \(\displaystyle{ a^{-1}}\). A do \(\displaystyle{ a^{2}}\) to \(\displaystyle{ a^{-1} \cdot a^{-1}}\) ?

-- 1 lis 2012, o 17:00 --

Mam coś takiego :

\(\displaystyle{ a^{2} \cdot e = 1}\)

\(\displaystyle{ aae-1 = 0}\)

\(\displaystyle{ aa- \frac{1}{e} = e}\)

\(\displaystyle{ \frac{aa-1}{e} = e}\)

\(\displaystyle{ aa-1 = ee}\)

\(\displaystyle{ a^{2} -1 = e^{2}}\)

\(\displaystyle{ (a-1) \cdot (a+1) = e^{2}}\)

Twojego sposobu nie rozumiem, a jak wyjść z tego?-- 1 lis 2012, o 17:06 --Albo :

\(\displaystyle{ ea \cdot ea = aa}\)

\(\displaystyle{ e^{2} \cdot a^{2} = a^{2}}\)

\(\displaystyle{ e^{2} = 1}\)

Więc dlaczego \(\displaystyle{ e^{1} \neq - 1}\)?

[JakimPL]

\(\displaystyle{ e = 1}\) jest oznaczeniem, to jest zapisanie tego samego na dwa sposoby. Natomiast nie ma żadnej informacji, że jakaś \(\displaystyle{ -1}\) należy do grupy, nie wiem, czemu upierasz się przy niej. Żeby nie prowadziło to do nieporozumień, powinno się używać tylko albo jednego, albo drugiego.

\(\displaystyle{ a^{2} \cdot e = 1 \Leftrightarrow a^{2} \cdot 1 = 1 \Leftrightarrow a^{2} \cdot e = e}\)

[myszka9]

Dobre pytanie. Nie jest również napisane, że \(\displaystyle{ 1 \in G}\)

Mam tylko wiadomość, że \(\displaystyle{ a \in G}\).

Zapis jest taki :

\(\displaystyle{ a^{2} = 1}\)

więc przenosząc 1 na lewo, wychodzi, że \(\displaystyle{ a = 1 \vee a = -1}\)

Nie rozumiem więc dlaczego \(\displaystyle{ -1}\) jest omijana.-- 1 lis 2012, o 18:18 --Chyba, że

\(\displaystyle{ a^{2} =1 \Leftrightarrow aa=1}\)

Więc szukając el. neutralnego :

\(\displaystyle{ ae = 1 | \cdot a}\)

\(\displaystyle{ a^{2}e = a \Leftrightarrow a^{2} = \frac{a}{e} \Leftrightarrow a = \frac{1}{e} \Leftrightarrow a = e ^{-1}}\)

Tylko co mi to daje? Skoro nie znam \(\displaystyle{ a}\)

[JakimPL]

To nie są liczby rzeczywiste czy też całkowite! To jest dowolna grupa, w której \(\displaystyle{ -1}\) może nie być, nie mamy żadnej informacji o takim elemencie. Dla zobrazowania sytuacji. Wyobraź sobie grupę liczb względnie pierwszych z \(\displaystyle{ 8}\) modulo \(\displaystyle{ 8}\) - \(\displaystyle{ U(\mathbb{Z}_8)}\) z mnożeniem modulo, tj.:

\(\displaystyle{ U(\mathbb{Z}_8)=\{1,3,5,7\}}\) (nie ma tu \(\displaystyle{ -1}\)!)

z działaniem \(\displaystyle{ a \odot b = (a \cdot b)\bmod 8}\).

\(\displaystyle{ 7^2 = (49)_8 = (48 + 1)_8 =(8\cdot 6 + 1)_8 = 1}\)

Stąd \(\displaystyle{ a^2 = 1}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ 7}\), które oczywiście nie jest równe \(\displaystyle{ -1}\).

Nie jest również napisane, że 1 in G

Element neutralny zwykle oznacza się \(\displaystyle{ 1}\), a każda grupa musi taki posiadać.

EDIT: Hivemind z tym przykładem \(\displaystyle{ U(\mathbb{Z}_8)}\)?

[Sylwek]

Nie wychodzi. \(\displaystyle{ 1}\) to skrótowe oznaczenie elementu neutralnego w grupie. Żeby się nie myliło, lepiej było na samym początku napisać \(\displaystyle{ a^2=e}\) i tyle, żadna "jedynka" tu nie istnieje. Zrozum, że pracujesz nad kompletnie abstrakcyjną grupą, to nawet nie musi być grupa operująca nad jakimiś liczbami np. grupa symetrii osiowych (która spełnia oczywiście \(\displaystyle{ a^2=e}\), gdzie \(\displaystyle{ e}\) jest po prostu przekształceniem identycznościowym). Inny przykład - w \(\displaystyle{ Z_8^*=\lbrace 1,3,5,7 \rbrace}\) też mamy \(\displaystyle{ a^2=1}\) dla każdego elementu, a Ty się uparłaś na tą \(\displaystyle{ -1}\). Mogę Ci zdefiniować grupę złożoną z różnych gatunków drzew i abstrakcyjnym działaniem \(\displaystyle{ \otimes}\), które także spełnia \(\displaystyle{ a \otimes a = e}\) (czyli skrótowo \(\displaystyle{ a^2=1}\)), gdzie \(\displaystyle{ e}\) mogę nazwać bukiem lub sosną. Nie przyjmuj żadnych założeń z myślą "no bo grupa to takie liczby rzeczywiste tylko trochę inne". A zadanie Ci już dawno rozwiązał Vardamir.

Widzę, że się spóźniłem z odpowiedzią, ale może coś mój post pomoże, więc umieszczam.

@JakimPL, pewnie to najszybciej narzucający się przykład.

[Vardamir]

Dobre pytanie. Nie jest również napisane, że \(\displaystyle{ 1 \in G}\)

Mam tylko wiadomość, że \(\displaystyle{ a \in G}\).

Zapis jest taki :

\(\displaystyle{ a^{2} = 1}\)

więc przenosząc 1 na lewo, wychodzi, że \(\displaystyle{ a = 1 \vee a = -1}\)

Nie rozumiem więc dlaczego \(\displaystyle{ -1}\) jest omijana.

Akurat właśnie \(\displaystyle{ 1 \in G}\) jest prawdą bo G jest grupą zatem element neutralny do niej należy. A \(\displaystyle{ 1}\) to inne oznaczenie na element neutralny.

Zapisu \(\displaystyle{ a^2=1}\) nie możesz rozwiązywać tutaj jako zwykłej nierówności. \(\displaystyle{ a}\) jest dowolnym ustalonym elementem, takim że \(\displaystyle{ a \in G}\). Może to być równie dobrze \(\displaystyle{ 3,4,10}\) zależnie od zbioru jaki tworzy grupę.

[myszka9]

\(\displaystyle{ a^2=1}\)
\(\displaystyle{ aa=1 /\cdot a^{-1}}\)
\(\displaystyle{ aaa^{-1}=a^{-1} \ , \ ale \ aa^{-1}=e}\)
\(\displaystyle{ a^{-1}\cdot /ae=a^{-1}}\)
\(\displaystyle{ a^{-1}ae=a^{-1}a^{-1}}\)
\(\displaystyle{ ee=a^{-1}a^{-1}}\)
\(\displaystyle{ e=a^{-1}a^{-1}}\)

Ale wiemy że dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) mamy \(\displaystyle{ aa=1}\) zatem \(\displaystyle{ e=1}\).

Skąd to\(\displaystyle{ a^{-1}ae=a^{-1}a^{-1}}\)
\(\displaystyle{ ee=a^{-1}a^{-1}}\) tam się wzięło?