przypadek tw. Dirichleta

[KasienkaG]

Jak udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 3n+2?

[brzoskwinka1]

Niech \(\displaystyle{ p_1 , p_2 , ..., p_n}\) będą wszystkimi liczbami pierwszymi postaci \(\displaystyle{ 3k+2}\) . Rozważ liczbę \(\displaystyle{ (p_1\cdot ...\cdot p_n )^2 +1 .}\)

[sebnorth]

Przypuśćmy, że jest ich skończenie wiele: \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_k. \mbox{ Niech } x = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k}\).

1) Jeśli \(\displaystyle{ x = 3m+1, m \in \mathbb{N} \mbox{ to } x+1 = 3m +2}\), zatem istnieje \(\displaystyle{ p_i}\) takie, że \(\displaystyle{ p_i \mid (x+1)}\) (w przeciwnym razie liczba \(\displaystyle{ 3m+2}\) posiadałaby tylko dzielniki pierwsze postaci \(\displaystyle{ 3n+1}\), których iloczyn też byłby takiej postaci). Z drugiej strony \(\displaystyle{ p_i \mid x}\). Musiałoby być \(\displaystyle{ p_i \mid (x+1) -x = 1}\), sprzeczność.

2) Jeśli \(\displaystyle{ x = 3m+2, m \in \mathbb{N} \mbox{ to } x+3 = 3(m+1) +2}\). Podobnie istnieje \(\displaystyle{ p_i}\) takie, że \(\displaystyle{ p_i \mid (x+3)}\) . Z drugiej strony \(\displaystyle{ p_i \mid x}\). oraz \(\displaystyle{ p_i \mid (x+3) -x = 3}\), sprzeczność.