NWD w układzie równań

[blackbird936]

Rozwiązać w liczbach naturalnych układ

\(\displaystyle{ NWD(x,y) = 83}\)
\(\displaystyle{ 5x + 7y = 2573}\)

[Ewelinakor]

Podstaw sobie:
\(\displaystyle{ x = 83a \\
y= 83b}\).

[blackbird936]

doszłam do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ x=7719+7t}\)
\(\displaystyle{ y=-5146-5t}\)
i z tego:
\(\displaystyle{ NWD(7719+7t,-5146-5t)=83}\)
i co dalej?

[Premislav]

wskazówka: \(\displaystyle{ 2573=30 \cdot 83+83}\)

[blackbird936]

Nie wiem co mam dalej zrobic

[Vardamir]

Zastosuj dotego równania \(\displaystyle{ 5x + 7y = 2573}\) te podpowiedzi:

Podstaw sobie:
\(\displaystyle{ x = 83a \\
y= 83b}\).

wskazówka: \(\displaystyle{ 2573=30 \cdot 83+83}\)

Wyjdzie Ci zależność pomiędzy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

[blackbird936]

a moge zapisac cos takiego?
\(\displaystyle{ 31NWD(5x,7y)=83}\) ?

[Premislav]

Zapisać możesz (właśnie to uczyniłaś ), ale nic dobrego z tego nie wyniknie (popatrz, że NWD zawsze jest całkowite, a Tobie po podzieleniu wyszedłby radosny ułamek).

[blackbird936]

Nie ogarniam tego ;((

to teraz mam coś takiego:
\(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\)
\(\displaystyle{ 5a+7b=31}\)

Ja nie wiem co mam z tym dalej zrobic (

[Premislav]

\(\displaystyle{ 5a+5b+2b=30+1}\)
\(\displaystyle{ 2b}\) przystaje do \(\displaystyle{ 1(mod 5)}\), inaczej: \(\displaystyle{ 1}\) jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ 2b}\) przez \(\displaystyle{ 5}\).
\(\displaystyle{ b<5}\) (inaczej przekroczy \(\displaystyle{ 31}\)).
EDIT: z tego \(\displaystyle{ b}\) już gładko wyjdzie, a skoro będziesz miała \(\displaystyle{ b}\), to i \(\displaystyle{ a}\) znajdziesz.

[blackbird936]

To w końcu ile jest równe x i y ?

[Premislav]

Wyliczyłaś \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)? Wracasz zatem do podstawienia \(\displaystyle{ x=83a}\), \(\displaystyle{ y=83b}\)

[blackbird936]

A mógłbyś mi to rozpisać po kolei, bo mi ciężko.
Przepisałam tylko to co mi napisałeś, ale nie umiem z tego wyliczyć ani a ani b a co dopiero x i y

[Premislav]

\(\displaystyle{ 0 \le b<5}\)
zatem \(\displaystyle{ 2b<10//
2b=5c+1, 5c+1<10}\) I zostają dwie możliwości do sprawdzenia, \(\displaystyle{ 2b=1}\) (sprzeczna, liczba parzysta miałaby być równa nieparzystej) i \(\displaystyle{ 2b=6}\)

[blackbird936]

to \(\displaystyle{ y=249}\), a \(\displaystyle{ x=166}\)