Wartości wymierne

[KonMatematyczny]

Witam
mam zadanie do rozwiązania ale nie mam pojęcia jak się do niego zabrać. Proszę o pomoc

Czy istnieje taka liczba x , dla której wyrażenia
\(\displaystyle{ x + \sqrt{2}}\), oraz \(\displaystyle{ x^3 + \sqrt{2}}\)
przyjmują wartości wymierne?

[Vax]

Nie, jeżeli nie wprost dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Q}}\) mielibyśmy \(\displaystyle{ x+\sqrt{2}=k \iff x=k-\sqrt{2}}\), oraz liczba \(\displaystyle{ x^3+\sqrt{2} \in \mathbb{Q} \iff (k-\sqrt{2})^3+\sqrt{2} \in \mathbb{Q} \iff k^3-3\sqrt{2}k^2+6k-\sqrt{2} \in \mathbb{Q} \iff (k^3+6k)-\sqrt{2}(3k^2+1) \in \mathbb{Q} \iff \sqrt{2}(3k^2+1) \in \mathbb{Q}}\)

Sprzeczność, gdyż \(\displaystyle{ \sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}}\), oraz \(\displaystyle{ 3k^2+1 \in \mathbb{Q} \wedge 3k^2+1 \neq 0}\), a iloczyn liczby niewymiernej i niezerowej wymiernej jest niewymierny.

[KonMatematyczny]

Dziękuje bardzo za pomoc