reszta z dzielenia

[omgcozadebil]

Oblicz, \(\displaystyle{ 18^{4567}}\) (mod 13). Czy ktoś byłby uprzejmy pokazać mi jak się takie coś rozwiązuje? Dziękuję

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ 18 = 5 (mod 13)}\)
\(\displaystyle{ 5^{2}=-1 (mod 13)}\)
\(\displaystyle{ (-1) \cdot 5= -5 =5^{3}( mod 13)}\)
\(\displaystyle{ -5 \cdot 5=1 (mod 13)}\) to oznacza,że
\(\displaystyle{ 5^{4}=1 ( mod 13)}\) i czwórka jest elementem rzędu 4. To oznacza,że
\(\displaystyle{ 5^{k}}\) w zależności od k może przyjąć tylko 4 wartości.
\(\displaystyle{ 5 \ \ \ k=4s+1}\)
\(\displaystyle{ -1 \ \ \ k=4s+2}\)
\(\displaystyle{ -5 \ \ \ k=4s+3}\)
\(\displaystyle{ 1 \ \ \ k=4s}\)

\(\displaystyle{ 4567=3 (mod 4)}\) oznacza,że działa ten przypadek trzeci. Oznacza to więc,że
\(\displaystyle{ 18^{4567}=-5=8 (mod 13)}\)

[omgcozadebil]

dziękuję