Równanie diofantyczne zy + zx = x*y

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Ginden
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 25 lip 2012, o 12:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Podziękował: 1 raz

Równanie diofantyczne zy + zx = x*y

Post autor: Ginden »

Mam równanie diofantyczne w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}}\)
Przekształciłem je do postaci
\(\displaystyle{ zy+zx = xy}\)
Jak sprawdzić ile i jakie rozwiązania istnieje dla podanego z? Oczywiście, jak to w równaniu diofantycznym - x, y i z muszą być liczbami naturalnymi.
Mogę niby na chama podstawiać pod x lub y kolejne liczby naturalne, ale cóż, wydajność takiej metody jest bardzo mała.

Dla każdego n istnieje oczywiście przynajmniej jedno rozwiązanie, czyli x=y=2z, czyli 1/2z + 1/2z = 1/z.
justynian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 705
Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 58 razy

Równanie diofantyczne zy + zx = x*y

Post autor: justynian »

\(\displaystyle{ x= \frac{zy}{y-z}}\)
Ginden
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 25 lip 2012, o 12:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Podziękował: 1 raz

Równanie diofantyczne zy + zx = x*y

Post autor: Ginden »

OK, przekształciłeś to równanie...
I co dalej? Nadal trzeba na chama podstawiać x albo y i sprawdzać wszystkie możliwości.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Równanie diofantyczne zy + zx = x*y

Post autor: Sylwek »

Podpowiedź:
\(\displaystyle{ xy-zx-zy=0 \\ x(y-z)-zy=0 \\ x(y-z)-z(y-z)=z^2 \\ (x-z)(y-z)=z^2}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x-z<0}\) oraz \(\displaystyle{ y-z<0}\), to okaże się, że któraś z liczb x,y jest niedodatnia (proste ćwiczenie). Zatem \(\displaystyle{ x-z}\) musi być dodatnim dzielnikiem \(\displaystyle{ z^2}\). Znając \(\displaystyle{ z}\) (a w szczególności jego rozkład na czynniki pierwsze) łatwo dokończyć zadanie.
ODPOWIEDZ