Mam równanie diofantyczne w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}}\)
Przekształciłem je do postaci
\(\displaystyle{ zy+zx = xy}\)
Jak sprawdzić ile i jakie rozwiązania istnieje dla podanego z? Oczywiście, jak to w równaniu diofantycznym - x, y i z muszą być liczbami naturalnymi.
Mogę niby na chama podstawiać pod x lub y kolejne liczby naturalne, ale cóż, wydajność takiej metody jest bardzo mała.
Dla każdego n istnieje oczywiście przynajmniej jedno rozwiązanie, czyli x=y=2z, czyli 1/2z + 1/2z = 1/z.
Równanie diofantyczne zy + zx = x*y
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 25 lip 2012, o 12:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Podziękował: 1 raz
Równanie diofantyczne zy + zx = x*y
OK, przekształciłeś to równanie...
I co dalej? Nadal trzeba na chama podstawiać x albo y i sprawdzać wszystkie możliwości.
I co dalej? Nadal trzeba na chama podstawiać x albo y i sprawdzać wszystkie możliwości.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Równanie diofantyczne zy + zx = x*y
Podpowiedź:
\(\displaystyle{ xy-zx-zy=0 \\ x(y-z)-zy=0 \\ x(y-z)-z(y-z)=z^2 \\ (x-z)(y-z)=z^2}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x-z<0}\) oraz \(\displaystyle{ y-z<0}\), to okaże się, że któraś z liczb x,y jest niedodatnia (proste ćwiczenie). Zatem \(\displaystyle{ x-z}\) musi być dodatnim dzielnikiem \(\displaystyle{ z^2}\). Znając \(\displaystyle{ z}\) (a w szczególności jego rozkład na czynniki pierwsze) łatwo dokończyć zadanie.
\(\displaystyle{ xy-zx-zy=0 \\ x(y-z)-zy=0 \\ x(y-z)-z(y-z)=z^2 \\ (x-z)(y-z)=z^2}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x-z<0}\) oraz \(\displaystyle{ y-z<0}\), to okaże się, że któraś z liczb x,y jest niedodatnia (proste ćwiczenie). Zatem \(\displaystyle{ x-z}\) musi być dodatnim dzielnikiem \(\displaystyle{ z^2}\). Znając \(\displaystyle{ z}\) (a w szczególności jego rozkład na czynniki pierwsze) łatwo dokończyć zadanie.