Gęstość liczb wymiernych i podobnych

[fon_nojman]

Wiadomo, że zbiór liczb wymiernych jest zbiorem gęstym w \(\displaystyle{ \mathbb{R}.}\) Znam parę sposobów żeby to udowodnić
-rozwinięcie dziesiętne liczby (ewentualnie dwójkowe, trójkowe itd)
-ułamki łańcuchowe
-ciąg \(\displaystyle{ \frac{\left[ nx\right] }{n}}\).
Pierwsze pytanie czy ktoś zna inny sposób?

Drugie pytanie czy liczby postaci
a) \(\displaystyle{ \frac{n^2}{m^2}}\) są gęste w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (ewentualnie inne potęgi zamiast \(\displaystyle{ 2}\))?
b) \(\displaystyle{ \frac{p_1}{p_2}}\) gdzie \(\displaystyle{ p_1,p_2}\) są pierwsze są gęste w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)?
Co ewentualnie ciekawego można powiedzieć o tych liczbach i ich domknięciach? Może ktoś zna inne ciekawe zbiory.

[szw1710]

a) oczywiście nie, bo są nieujemne
b) nie wiem

[Ein]

Wiadomo, że zbiór liczb wymiernych jest zbiorem gęstym w \(\displaystyle{ \mathbb{R}.}\) Znam parę sposobów żeby to udowodnić
-rozwinięcie dziesiętne liczby (ewentualnie dwójkowe, trójkowe itd)
-ułamki łańcuchowe
-ciąg \(\displaystyle{ \frac{\left[ nx\right] }{n}}\).
Pierwsze pytanie czy ktoś zna inny sposób?

Dla dowolnego przedziału można wprost wskazać liczbę (nie)wymierną, która w nim leży.

W obu poniższych przykładach należałoby uwzględnić jeszcze liczby ujemne.

a) \(\displaystyle{ \frac{n^2}{m^2}}\) są gęste w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (ewentualnie inne potęgi zamiast \(\displaystyle{ 2}\))?
b) \(\displaystyle{ \frac{p_1}{p_2}}\) gdzie \(\displaystyle{ p_1,p_2}\) są pierwsze są gęste w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)?

[fon_nojman]

W obu poniższych przykładach należałoby uwzględnić jeszcze liczby ujemne.

Racja tak z rozpędu napisałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)a powinno być po prostu \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+.}\)

Dla dowolnego przedziału można wprost wskazać liczbę (nie)wymierną, która w nim leży.

No właśnie też mi się tak wydawało ale zapomniałem jak to się robi...hmm a może nigdy nie wiedziałem. Bierze się jakąś kombinację wypukłą krańców przedziału?

Hehe, podpunkt b) jest trywialny bierzemy ciąg \(\displaystyle{ \left(\frac{n}{m}\right)_k\to \sqrt{x},}\) wtedy \(\displaystyle{ \left(\frac{n^2}{m^2}\right)_k\to x}\)

[Zordon]

To było a)
b) też jest prawdą, ale na razie nie potrafię tego zrobić bez silnych twierdzeń z analitycznej teorii liczb, można wykorzystać np. fakt, że istnieje stała \(\displaystyle{ 0<\theta <1}\) t. że, jeśli tylko \(\displaystyle{ n}\) jest odpowiednio duże, to \(\displaystyle{ [n,n+n^\theta]\cap \mathbb{P} \neq \emptyset}\)

[Ein]

Dla dowolnego przedziału można wprost wskazać liczbę (nie)wymierną, która w nim leży.

No właśnie też mi się tak wydawało ale zapomniałem jak to się robi...hmm a może nigdy nie wiedziałem. Bierze się jakąś kombinację wypukłą krańców przedziału?

Niech \(\displaystyle{ (a,b)}\) będzie niepustym przedziałem na prostej. Niech \(\displaystyle{ M=\lfloor a\rfloor}\) (podłoga z \(\displaystyle{ a}\)). Jeżeli \(\displaystyle{ M+1<b}\), to mamy szukaną liczbę wymierną w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\). Jeżeli \(\displaystyle{ M+1\ge b}\), to niech \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) będzie tak duże, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}<b-a}\) (aksjomat Archimedesa). Jedna z liczb \(\displaystyle{ M+\frac{1}{n},M+\frac{2}{n},\ldots,M+1}\) musi należeć do przedziału \(\displaystyle{ (a,b)}\).

Podobnie rozważamy kwestię liczby niewymiernej: zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) rozważamy liczbę \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{n}}\).