Działania na l. (nie)wymiernych

[stoneape]

Witam!
Mam problem z kilkoma zagadnieniami traktujących o zależnościach między l. wymiernymi, a l. niewymiernymi. No, ale po kolei.

1. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą niewymierną dodatnią, to \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) też jest liczbą niewymierną.
2. czy suma, różnica, iloczyn i iloraz 2-óch liczb niewymiernych musi być liczbą niewymierną?

Ponad to chciałbym, by ktoś mi powiedział czy dobrze przeprowadziłem pewien dowód.
I. Pokazać, że suma(różnica) liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną.
zał: \(\displaystyle{ x\in W; y\in NW \rightarrow x= \frac{a}{b} ; y=\sqrt{c}}\)

Teza:
\(\displaystyle{ x+y\in NW ; x-y\in NW}\)

Dowód:
\(\displaystyle{ x+y=\frac{a}{b} + \sqrt{c} = \frac{a-b\sqrt{c}}{b}}\) co jest l niewymierną. Koniec dowodu.

[MadJack]

1. Nie wprost i zacznij od tego, że jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) jest liczbą wymierną, to \(\displaystyle{ \sqrt{x}= \frac{p}{q}}\).
2. Jaki jest np. \(\displaystyle{ \sqrt{2}-\sqrt{2}}\) albo \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}\)?

Co do Twojego dowodu, to dlaczego niby \(\displaystyle{ y=\sqrt{c}}\)? Na przykład \(\displaystyle{ \pi}\) nie jest pierwiastkiem liczby wymiernej, a jest niewymierne. Za to \(\displaystyle{ 2=\sqrt{4}}\), a jest liczbą wymierną.