Wykazać, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą niewymierną.
Niby to oczywiste, ale nie mam pojęcia jak to można udowodnić. Czy toś ma jakiś pomysł?
liczba niewymierna - dowód
-
norwimaj
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
liczba niewymierna - dowód
Hm, ciekawe.rutra pisze: Niby to oczywiste,
Poszukać. Po co mamy my szukać i przepisywać?rutra pisze:Czy toś ma jakiś pomysł?
-
radagast
- Użytkownik
- Posty: 50
- Rejestracja: 14 kwie 2011, o 22:43
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 13 razy
liczba niewymierna - dowód
załóżmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą wymierną, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2}= \frac{p}{q},\ \ \ p,q \in N}\)
wtedy (po podniesieniu do kwadratu)
\(\displaystyle{ 2= \frac{p^2}{q^2 }}\)
czyli
\(\displaystyle{ 2q^2=p^2}\)
rozkładając na czynniki pierwsze lewą stronę znajdujemy tam nieparzystą liczbę dwójek, a rozkładając na czynniki pierwsze prawą stronę znajdujemy tam parzystą liczbę dwójek, co daje sprzeczność z jednoznacznością rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Zatem nieprawda , że \(\displaystyle{ \sqrt{2}= \frac{p}{q}}\), czyli 2 nie jest liczbą wymierną .
CBDO
wtedy (po podniesieniu do kwadratu)
\(\displaystyle{ 2= \frac{p^2}{q^2 }}\)
czyli
\(\displaystyle{ 2q^2=p^2}\)
rozkładając na czynniki pierwsze lewą stronę znajdujemy tam nieparzystą liczbę dwójek, a rozkładając na czynniki pierwsze prawą stronę znajdujemy tam parzystą liczbę dwójek, co daje sprzeczność z jednoznacznością rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Zatem nieprawda , że \(\displaystyle{ \sqrt{2}= \frac{p}{q}}\), czyli 2 nie jest liczbą wymierną .
CBDO
-
G17
- Użytkownik
- Posty: 382
- Rejestracja: 22 wrz 2012, o 17:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lodz
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 124 razy
liczba niewymierna - dowód
\(\displaystyle{ \text{Twierdzenie: Uzasadnij że } \sqrt{2} \not\in \mathbb{W}}\)
\(\displaystyle{ \text{Dowód: AA}}\)
Przypuscmy że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczba wymierna. Wtedy możemy ja zapisac jako ułamek \(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n > 0 \wedge m > 0}\). Zakładam że ten ułamek jest nieskracalny a wiec conajmniej jedna z liczb nie jest podzielna przez 2. Z rownosci \(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{m}{n}}\) wynika że \(\displaystyle{ 2n^{2}=m^{2}}\) co oznacza że \(\displaystyle{ m^{2}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) czyli także \(\displaystyle{ m}\) jest podzielne przez 2. Zapiszmy zatem liczbe \(\displaystyle{ m = 2k}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\). Dostajemy teraz \(\displaystyle{ 2n^{2}=4k^{2} \iff n^{2}=2k^{2}}\) a wiec i \(\displaystyle{ n^{2}}\) jest podzielne przez 2 czyli także \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez 2. Otrzymana sprzecznosc dowodzi że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \not\in \mathbb{W}}\)
\(\displaystyle{ \text{Dowód: AA}}\)
Przypuscmy że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczba wymierna. Wtedy możemy ja zapisac jako ułamek \(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n > 0 \wedge m > 0}\). Zakładam że ten ułamek jest nieskracalny a wiec conajmniej jedna z liczb nie jest podzielna przez 2. Z rownosci \(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{m}{n}}\) wynika że \(\displaystyle{ 2n^{2}=m^{2}}\) co oznacza że \(\displaystyle{ m^{2}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) czyli także \(\displaystyle{ m}\) jest podzielne przez 2. Zapiszmy zatem liczbe \(\displaystyle{ m = 2k}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\). Dostajemy teraz \(\displaystyle{ 2n^{2}=4k^{2} \iff n^{2}=2k^{2}}\) a wiec i \(\displaystyle{ n^{2}}\) jest podzielne przez 2 czyli także \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez 2. Otrzymana sprzecznosc dowodzi że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \not\in \mathbb{W}}\)
