Zadania na poziomie konkursu w gimnazjum.

[Valiors]

1. Ostatnią cyfrą liczby \(\displaystyle{ 2^{1990}}\) jest:
a. \(\displaystyle{ 2}\)
b. \(\displaystyle{ 4}\)
c. \(\displaystyle{ 6}\)
d. \(\displaystyle{ 8}\)
2. Wartością wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{147} - \sqrt{48} }{\sqrt{3}}}\) jest:
a. \(\displaystyle{ 3}\)
b. \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)
c. \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\)
d. \(\displaystyle{ \sqrt{33}}\)
3. Jaka jest \(\displaystyle{ 135.}\) cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby \(\displaystyle{ \frac{2}{7}}\) ?
a. \(\displaystyle{ 4}\)
b. \(\displaystyle{ 1}\)
c. \(\displaystyle{ 5}\)
d. \(\displaystyle{ 7}\)

Bardzo proszę o wytłumaczenie jak zrobić te zadania. Byłbym wdzięczny gdybyście napisali to w jak najprostszym języku, bez tych wszystkich funkcji matematycznych itp.

[Althorion]

Bardzo proszę o wytłumaczenie jak zrobić te zadania. Byłbym wdzięczny gdybyście napisali to w jak najprostszym języku, bez tych wszystkich funkcji matematycznych itp.

Już chociażby odejmowanie i pierwiastkowanie są funkcjami, tak więc będzie z tym pewien problem… Mogę się natomiast podzielić podpowiedziami.

Ad 1.:
Zauważ jak zmienia się ostatnia cyfra kolejnych potęg dwójki.
Ad 2.:
Rozłóż liczby pod pierwiastkami na czynniki pierwsze, będzie Ci łatwiej upraszczać.
Ad 3.:
Rozwiń i znajdź okres.

[Valiors]

Najbardziej zależy mi na zadaniu 1. Zauważyłem, że ostatnia cyfra zawsze wynosi kolejno 2, 4, 8, 6. Mimo namysłu, dalej mam pustkę w głowie. Możesz mi podać jeszcze jakąś podpowiedź? Myślałem trochę o dzieleniu, ale nie mogę nic wykombinować.

[Premislav]

\(\displaystyle{ 2 ^{10}=1024}\)
jeśli taką liczbę podniesiemy do potęgi parzystej (wykładnik naturalny, nierówny \(\displaystyle{ 0}\)), to ostatnią cyfrą będzie... właśnie, co?
Jeśli podniesiemy do nieparzystej... to samo pytanie. Dość łatwo to sprawdzić (nie trzeba się zresztą męczyć przy tym z potęgowaniem takiej liczby, można sprawdzić ogólnie dla liczb w postaci \(\displaystyle{ 10k+4, k \in N}\)).

[Valiors]

No i wszystko jasne . Jak mogłem być tak bezmyślny? Dziękuje wam obojgu za pomoc.

[Hassgesang]

Przecież \(\displaystyle{ 2^7=128}\)