Liczby Mersenne'a i ciąg Collatza

[matemix]

Jakiś czas temu natrafiłem na pracę w której autorzy powiązali liczby pierwsze Mersenne'a z właściwościami ciągu Collatza:



Wykazali oni doświadczalnie (w pewnym zakresie) oraz postawili hipotezę, że długości ciągów Collatza dla kolejnych liczb Mersenne'a są w przybliżeniu proporcjonalne do wykładnika tych liczb (przy czym stała proporcjonalności wynosi około \(\displaystyle{ 13,45652}\)), a im większe liczby rozpatrujemy tym stosunek długości ciągu danej liczby do wykładnika jest bliższy tej stałej. Co więcej zauważyli oni, że dla liczb pierwszych Mersenn'a właściwość ta jest jeszcze silniejsza.

Więcej na ten temat można przeczytać w samej pracy.

Piszę tu, ponieważ w oparciu o tę pracę stworzyłem własną, nieco bardziej rozszerzoną hipotezę. Mianowicie uważam, że prawidłowość którą zauważyli autorzy - tj. proporcjonalność do stałej około \(\displaystyle{ 13,45652}\) zachodzi dla nieskończenie wielu liczb postaci \(\displaystyle{ 2^{n}-k}\), przy pewnym szczególnym \(\displaystyle{ k}\). Konkretnie występuje dla tych \(\displaystyle{ k}\) które w ciągu:

\(\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{array}{l} \frac {3x-1}{2} \ \ \ gdy \ x \ nieparzyste\\ \ \ \frac {x}{2} \ \ \ \ \ \ \ gdy \ x \ parzyste \end{array}}\)

Wpadają w pętlę \(\displaystyle{ 1,1,1,...}\). Czyli dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,4,6,8,11,12, ...}\) itd.

Spodziewam się także, że dla liczb pierwszych tej postaci ta proporcjonalność będzie lepsza, podobnie jak dla liczb pierwszych Mersenne'a.

Niestety jak można zauważyć w tej pracy właściwości te stają się zauważalne dopiero dla wykładników \(\displaystyle{ n>25000}\). Nie mam możliwości wykonania takich obliczeń na tak ogromnych liczbach, ani nie bardzo potrafię napisać program testujący kilka liczb właśnie postaci \(\displaystyle{ 2^{n}-k}\). W związku z tym mam pytanie i prośbę, czy ktoś nie zechciałby zainteresować się tą hipotezą i przetestować ją dla kilku kolejnych \(\displaystyle{ k}\)?

[Spektralny]

Rzuć może okiem tutaj:

[matemix]

Rzuć może okiem tutaj:

Tam są chyba co najwyżej wyniki dla liczb rzędu co najwyżej \(\displaystyle{ 2^{60}}\). Tymczasem Toru Ohira i Hiroshi Watanabe zajmowali się liczbami rzędu \(\displaystyle{ 2^{25000}}\) do około \(\displaystyle{ 2^{225000}}\), tyle, że nie wszystkimi, a tylko liczbami Mersenne'a. A na niektórych wykresach przedstawili wszystkie znane liczby pierwsze Mersenne'a (czyli liczby aż do \(\displaystyle{ 2^{43112609}}\)) i ich długości ciągów w ciągu Collatza.

Ale teraz tak sobie pomyślałem, że liczby pierwsze postaci np. \(\displaystyle{ 2^n-3}\) lub \(\displaystyle{ 2^n-11}\), dla \(\displaystyle{ n}\) rzędu \(\displaystyle{ 25000}\) i więcej chyba nie koniecznie są w ogóle znane, a więc sprawdzenie hipotezy dla liczb pierwszych tej postaci wymagałoby chyba najpierw w ogóle znalezienia ich, co już w ogóle komplikuje sprawę... W takim razie może lepiej sprawdzić hipotezę i proporcjonalność długości ciągów chociaż dla zwykłych liczb takiej postaci, pomijając, to które z nich są pierwsze.