Liczby wymierne będące sumami odwrotności liczb naturalnych

[tatteredspire]

Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ \forall_{k \in \mathbb{N}}\exists_{a>0}\forall_{q \in \mathbb{Q}}\left(0<q<a \Rightarrow \exists_{n \in \mathbb{N}}\exists_{a_1,...,a_n \in \mathbb{N}}\left(a_1<...<a_n \wedge q= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i ^k}\right)\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{N}=\left\{ 1,2,3,...\right\}}\) ?

Proszę o jakieś uzasadnienie przy ew. odpowiedzi na to pytanie.

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ \frac{m}{n} = \sum_{j=1}^{m\cdot n^{k-1}}\frac{1}{n^k}}\)

[norwimaj]

Z tego co zrozumiałem, te mianowniki mają być parami różne.

[tatteredspire]

Tak, mają być parami różne.

[brzoskwinka1]

Aha, nie doczytałam.

[Zordon]

Autor tematu zapewne wie, ale dla \(\displaystyle{ k=1}\) to jest prawda.