Różnice w wyniku excela, a w wynikach formuł matematycznych

[Muskacz]

Witam,
koleżanka zadała mi i koledze proste zadanie "Ile zer ma na końcu wynik z 32!"?

Na forum 16471.htm podano sposób na obliczenie ilości zer z czego wynika, że zer jest 7.

Kolega liczył w excelu i wyszło mu 21 zer. Duża rozbieżność.

Tak więc sam skorzystałem z excela i zauważyłem dziwną nieprawidłowość. Być może excel popełnia błąd przy obliczeniu silni powyżej 20!.

Jeśli możecie pomóc to powiedzcie gdzie excel popełnia błąd, ponieważ wynik 32! to 263130836933694000000000000000000000 czyli sporo więcej niż 7 zer.

Ponadto porównałem wynik z funkcji excela "=silnia(32)" z wynikiem obliczeń z ręki. I np przy 53! wyniki te się nie zgadzają.

A więc mamy 3 zagadki:
1. Excel podaje liczbę dla 32! gdzie ma ona 21 zer (tak samo kalkulator w komputerze), formuła matematyczna tylko 7 zer na końcu.
2. Przy 53! mamy różnicę w wyniku uzyskanym jako silnia(53), a liczonym tzw. "ręcznie".
3. Kolega liczył alternatywną metodą wzór poniżej, ale wynik dalej w przybliżeniu 21 zer.
sqrt{2 pi n}*( frac{n}{e} ^{n} )

Nie wiem jak wkleić tego excela, ale mam nadzieję, że będzie to widoczne.
oblicz 32! mnożnik wynik
silnia porównania 1 1
2 PRAWDA 2 2
6 PRAWDA 3 6
24 PRAWDA 4 24
120 PRAWDA 5 120
720 PRAWDA 6 720
5040 PRAWDA 7 5040
40320 PRAWDA 8 40320
362880 PRAWDA 9 362880
3628800 PRAWDA 10 3628800
39916800 PRAWDA 11 39916800
479001600 PRAWDA 12 479001600
6227020800 PRAWDA 13 6227020800
87178291200 PRAWDA 14 87178291200
1307674368000 PRAWDA 15 1307674368000
20922789888000 PRAWDA 16 20922789888000
355687428096000 PRAWDA 17 355687428096000
6402373705728000 PRAWDA 18 6402373705728000
121645100408832000 PRAWDA 19 121645100408832000
2432902008176640000 PRAWDA 20 2432902008176640000
51090942171709400000 PRAWDA 21 51090942171709400000
1124000727777610000000 PRAWDA 22 1124000727777610000000
25852016738885000000000 PRAWDA 23 25852016738885000000000
620448401733239000000000 PRAWDA 24 620448401733239000000000
15511210043331000000000000 PRAWDA 25 15511210043331000000000000
403291461126606000000000000 PRAWDA 26 403291461126606000000000000
10888869450418400000000000000 PRAWDA 27 10888869450418400000000000000
304888344611714000000000000000 PRAWDA 28 304888344611714000000000000000
8841761993739700000000000000000 PRAWDA 29 8841761993739700000000000000000
265252859812191000000000000000000 PRAWDA 30 265252859812191000000000000000000
8222838654177920000000000000000000 PRAWDA 31 8222838654177920000000000000000000
263130836933694000000000000000000000 PRAWDA 32 263130836933694000000000000000000000
8683317618811890000000000000000000000 PRAWDA 33 8683317618811890000000000000000000000
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20397882081197400000000000000000000000000000000 PRAWDA 39 20397882081197400000000000000000000000000000000
815915283247898000000000000000000000000000000000 PRAWDA 40 815915283247898000000000000000000000000000000000
33452526613163800000000000000000000000000000000000 PRAWDA 41 33452526613163800000000000000000000000000000000000
1405006117752880000000000000000000000000000000000000 PRAWDA 42 1405006117752880000000000000000000000000000000000000
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[Zordon]

Sprawa jest prosta, excel jest dosyć prymitywny jeśli chodzi o obliczenia na dużych liczbach, zaokrągla sobie gdy liczba jest zbyt duża. Właśnie dlatego na końcu masz tyle zer. Widać bardzo dobrze, że kilka (chyba 18 cyfr) na początku jest niezerowych - to jest dokładność którą zapewnia excel, reszta jest zaokrąglona.

edit: jeśli chodzi o metodą kolegi, to również jest oczywiście do kitu, ponieważ wzór Stirlinga, z którego korzysta ma bardzo dobrą dokładność "względną", zatem da wynik bliski silni ale "bliskość" będzie mierzona względem wielkości samej liczby - która jest jak wiadomo ogromna.

edit2: podam przykład do powyższego, czy przybliżenie liczby \(\displaystyle{ 10432532632000001200}\) przez \(\displaystyle{ 10432532632000000000}\) jest dobre? Owszem gdyż błąd jest rzędu \(\displaystyle{ 0,000000000000001\%}\). Ale co z tego, skoro tak dobre przybliżenie nie zachowuje liczby zer na końcu .

[Adifek]

Na forum 16471.htm podano sposób na obliczenie ilości zer z czego wynika, że zer jest 7.

I to jest dobrze Liczysz wystąpienia piątki.

3. Kolega liczył alternatywną metodą wzór poniżej, ale wynik dalej w przybliżeniu 21 zer.
sqrt{2 pi n}* left( frac{n}{e}
ight) ^{n}

Wzór Stirlinga nie daje dokładnej wartości silni. Są tylko asymptotycznie równe - daje przybliżenie. Zachodzi tylko:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right) ^{n}}{n!}=1}\)

Całkiem możliwe, że Excel podaje tylko przybliżoną wartość silni. Zwróć uwagę, że żeby obliczyć normalnie \(\displaystyle{ n!}\) potrzeba \(\displaystyle{ n-1}\) mnożeń. Za to wykorzystując powyższy, przybliżony wzór, wystarczy \(\displaystyle{ \left[ \frac{n}{2} \right] +1}\) mnożeń, co dla dużych liczb bardzo upraszcza obliczenia. Albo po prostu Excel liczy normalnie, ale sobie mocno zaokrągla