Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
wojtekjaskula
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 7 gru 2010, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: P-Ń
Podziękował: 1 raz

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: wojtekjaskula »

Witam,
mam problem z 2 zadaniami i kompletnie nie wiem jak się za nie zabrać.

a) Wyznaczyć resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 949^{451}}\) przez 15
b) Rozwiązać w liczbach naturalnych układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases}x+y=252 \\nwd(x,y)=21 \end{cases}}\)
(przepraszam , za taki zapis ale nie wiem jak zrobić długą klamrę w latex-ie

Jako , że pierwszego nie wiem jak zrobić to poproszę o pomoc od 0 (przeszukałem całe google i dalej nie wiem.

Z drugim już trochę łatwiej.
zakładamy , że
\(\displaystyle{ x=21a \\
y=21b \\
21(a+b)=252 /21\\
a+b = 12}\)

I teraz nie wiem co dalej , czy założenie , że \(\displaystyle{ (a,b)=1}\) i szukanie sum ,które rozwiązują daną zależność jest dobre tzn:
\(\displaystyle{ a+b = (11,1);(10,2);(9,3);(8,4);(7,5);(6,6)}\)

Proszę jeszczę o informację , czy w przypadku kiedy w zadaniu zamiast sumy jest mnożenie coś się zmienia ?

Tym razem z poprawionym Latex-em
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2012, o 16:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: "Długa klamra" w latex-u (czytaj latech). Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: ares41 »

1.
Wskazówki:
\(\displaystyle{ 949\equiv 63\cdot 15 +4 \equiv 4 \pmod{15} \\ 4^{2}\equiv 1 \pmod{15}}\)
wojtekjaskula
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 7 gru 2010, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: P-Ń
Podziękował: 1 raz

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: wojtekjaskula »

ok.
Pierwsze rozumiem:
\(\displaystyle{ 949\equiv 63 \cdot 15+4\equiv 4 \pmod{15}}\)
\(\displaystyle{ 949 \equiv 1 \pmod{15}}\)

ale co z potęgą \(\displaystyle{ .^{451}}\)
wiem , że \(\displaystyle{ 452 \pmod{15}= 2 \pmod{15}}\)
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2012, o 21:22 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: ares41 »

Nie.
\(\displaystyle{ 949\equiv 4 \pmod{15}}\)
Celowo to rozpisałem, żeby było widać, że reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 949}\) przez \(\displaystyle{ 15}\) to \(\displaystyle{ 4}\).

A co do potęgi - wskazówką jest druga z napisanych przeze mnie zależności :
\(\displaystyle{ 4^{2}\equiv 1 \pmod{15}}\)
wojtekjaskula
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 7 gru 2010, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: P-Ń
Podziękował: 1 raz

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: wojtekjaskula »

To ma coś wspólnego z Tym , że 451 jest podzielne przez 4 ?
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: ares41 »

A jest podzielne ?

Uporządkujmy. Z tego co wyżej było napisane mamy:

\(\displaystyle{ 949^{451}\equiv 4^{451} \pmod{15}}\)

Teraz musisz wykorzystać fakt, że \(\displaystyle{ 4^{2}\equiv 1 \pmod{15}}\)
wojtekjaskula
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 7 gru 2010, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: P-Ń
Podziękował: 1 raz

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: wojtekjaskula »

Omg miałem na myśli co innego, przepraszam.

nie mam pojęcia z kąd się wzięła ta 2-ka, bo 451 nie dzieli się przez 2 pierwiastka też się nie da wyciągnąć
Jedyne co przychodzi mi na myśl to
\(\displaystyle{ 451\pmod{15}\equiv1\pmod{15}}\) ale to jest błędna myśl.
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: ares41 »

\(\displaystyle{ 451=2\cdot 225 +1}\)
Wykorzystaj to i poprzednią wskazówkę.
wojtekjaskula
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 7 gru 2010, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: P-Ń
Podziękował: 1 raz

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: wojtekjaskula »

\(\displaystyle{ 451 =2 \cdot 2 ^{15} + 1}\) ?
ale to \(\displaystyle{ 4^{2}}\) to za cholere.


Chwila , a to nie jest tak , że reszta z dzielenia 451 przez 15 jest taka sama co 16 przez 15 ?
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2012, o 21:55 przez wojtekjaskula, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: ares41 »

Przecież \(\displaystyle{ 451}\) to wykładnik

\(\displaystyle{ 949^{451}\equiv 4^{451} \equiv 4^{2\cdot 225+1}\equiv (4^{2})^{225 }\cdot 4 \equiv \ldots \pmod{15}}\)
Wykorzystaj w tym miejscu tą drugą wskazówkę.
wojtekjaskula
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 7 gru 2010, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: P-Ń
Podziękował: 1 raz

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: wojtekjaskula »

Pewnie już jesteś załamany
Zakładam , że to \(\displaystyle{ 225 \pmod{15}}\) możemy wywalić więc zostanie \(\displaystyle{ 4^{2} \cdot 4}\)
więc reszta to:
\(\displaystyle{ (4^{2})^{225} \cdot 4 \equiv 4 \pmod{15}}\) ??
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: ares41 »

Nie bardzo wiem, co rozumiesz przez "możemy wywalić" , więc dla pewności podam pełne rozwiązanie :
\(\displaystyle{ 949^{451}\equiv 4^{451} \equiv 4^{2\cdot 225+1}\equiv (4^{2})^{225 }\cdot 4 \equiv 1^{225} \cdot 4 \equiv 4 \pmod{15}}\)

Odpowiedź poprawna - szukana reszta to \(\displaystyle{ 4}\)

Pozdrawiam
wojtekjaskula
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 7 gru 2010, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: P-Ń
Podziękował: 1 raz

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: wojtekjaskula »

Dziękuję, na prawdę podziwiam Twoją Cierpliwość.
Wielki Szacunek dla Twojej wiedzy-- 21 wrz 2012, o 14:25 --A czy 2 zadanie jest dobrze zrobione ?
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Algebra Abstracyjna - 2 zadania.

Post autor: ares41 »

wojtekjaskula pisze:A czy 2 zadanie jest dobrze zrobione ?
Prawie.
Zapominasz o warunku \(\displaystyle{ (a,b)=1}\), np. para \(\displaystyle{ (10,2)}\) odpada.
Zapisując ostateczny wynik masz podać pary \(\displaystyle{ (x,y)}\) a nie \(\displaystyle{ (a,b)}\)
ODPOWIEDZ