Liczby Riesela i liczby Sierpińskiego

[ReallyGrid]

Riesel pokazał, że dla \(\displaystyle{ k=509203}\) liczba \(\displaystyle{ k \cdot 2^n - 1}\) jest złożona dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_{+}}\).
Bliźniaczo: dla \(\displaystyle{ k=78557}\) liczba \(\displaystyle{ k \cdot 2^n + 1}\) jest złożona dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_{+}}\). Wykazał to John Selfridge, a Sierpiński udowodnił, że dla konkretnego \(\displaystyle{ k}\) i wszystkich \(\displaystyle{ n}\) dodatnich, liczb złożonych takiej postaci jest nieskończenie wiele.
Pytanie moje brzmi czy ktoś zna dowód tych rozważań albo źródło, gdzie taki dowód się znajduje, że dla tych konkretnych \(\displaystyle{ k}\) takie liczby dla każdego \(\displaystyle{ n}\) są złożone? W książkach "Teoria liczb" Sierpińskiego (część I i II), które posiadam nie ma mic na temat tych liczb.

[Sylwek]

Co do liczb Sierpińskiego wystarczyło się rozejrzeć po angielskiej Wikipedii.

The number \(\displaystyle{ 78.557}\) was proved to be a Sierpinski number by John Selfridge in 1962, who showed that all numbers of the form \(\displaystyle{ 78557 \cdot 2^n+1}\) have a factor in the covering set \(\displaystyle{ \lbrace 3{,} 5{,} 7{,} 13{,} 19{,} 37{,} 73 \rbrace}\).

[ReallyGrid]

Cóż… a może tak źródło książkowe? (Wikipedia? No bez żartów! To nawet nie jest szkic dowodu. Dowód byłby gdyby pokazali że rzeczywiście każda liczba z ciągu \(\displaystyle{ (78557 \cdot 2^n + 1)}\) dzieli się przez conajmniej jedną liczbę z tego zbioru dzielników.)

[Sylwek]

A czy jest jakiś problem z dowodem tego? Przecież podano ideę rozwiązania jak na tacy.

Na przykład: \(\displaystyle{ 78557 \equiv 2 \ (mod \ 3)}\), zatem jeśli n jest parzyste, to \(\displaystyle{ 78557 \cdot 2^n+1 \equiv 0 \ (mod \ 3)}\). Zostały wartości nieparzyste. Jeśli \(\displaystyle{ n=4k+1}\), to analogicznie pokazujemy, że \(\displaystyle{ 78557 \cdot 2^n+1 \equiv 0 \ (mod \ 5)}\). Zostały wartości \(\displaystyle{ 4k+3}\). Kontynuujemy analogiczne rozumowanie. Polecam dokończyć ten dowód, na przykład w celu treningu posługiwania się najprostszymi możliwymi kongruencjami.