Równanie diofantyczne

[HuBson]

Rozwiąż równania \(\displaystyle{ 2^{n}+1= m^{2}}\)
I
\(\displaystyle{ 2^{n}-1= m^{2}}\) oczywiście w liczbach naturalnych

[Vax]

\(\displaystyle{ 2^n+1 = m^2 \iff 2^n = (m-1)(m+1)}\), teraz zauważ, że \(\displaystyle{ (m-1 , m+1) \mid 2}\)

A drugie modulo 4

[HuBson]

A dlaczego obydwie musza byc dzielnikami 2?

[Vax]

Ich nwd dzieli 2, ponieważ \(\displaystyle{ (m-1 , m+1) = (m-1 , m+1-(m-1)) = (m-1 , 2) \mid 2}\)

[HuBson]

Ale co ma do tego nwd bo nie bardzo rozumiem

[Vax]

Skoro \(\displaystyle{ 2^n = (m-1)(m+1)}\), to \(\displaystyle{ m-1}\) oraz \(\displaystyle{ m+1}\) muszą być pewnymi potęgami \(\displaystyle{ 2}\), ale \(\displaystyle{ (m-1,m+1) = 1 \vee (m-1 , m+1) = 2}\), jeżeli \(\displaystyle{ (m-1,m+1)=1}\), to musi być \(\displaystyle{ m-1 = 1 \iff m=2}\), jednak wtedy \(\displaystyle{ 2^n = 3}\), co rozwiązań całkowitych nie ma. Więc \(\displaystyle{ (m-1,m+1)=2}\), czyli z tego, że oba wyrażenia są potęgami 2 mamy \(\displaystyle{ m-1=2 \iff m=3}\) i dostajemy \(\displaystyle{ 2^n = 8 \iff n=3}\) czyli \(\displaystyle{ (m,n) = (3,3)}\)

[HuBson]

Zrozumiałem ale swój sposón już tzn. Doszedłemndo wnisku że jedna z nich dzieli się tylko przez dwa a na poczatku o tym zapomniałem