Udowadnianie niewymierności liczby

[zozolek40]

Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą niewymierną.
W przykładzie podane jest rozwiązanie metodą dowód nie wprost, ale nie wiem na czym to polega.
Czy da się takie zadania rozwiązywać prościej?

[szw1710]

Nie. To absolutna klasyka. Dowód z księgi. Co to są dowody z księgi - wujek Google powie. Rzecz wiąże się z Erdosem.

[gryxon]

A czego nie rozumiesz?
Zakładamy że \(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q \in C}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}p = q \\
2p^{2}=q^{2}}\)
Jednak w \(\displaystyle{ p^{2}}\) jak i \(\displaystyle{ q^{2}}\) występuje parzysta liczba dwójek w rozkładzie liczb na czynniki pierwsze(kwadraty liczb całkowitych).

Czyli w \(\displaystyle{ 2p^{2}}\) będzie nieparzysta liczba dwójek co prowadzi do sprzeczności.

[szw1710]

Ale tak dyskutując, oczywiście sedno sprawy tkwi w powyższym rozumowaniu. Można to jednak (ale czy trzeba?) przeredagować na dowód bezpośredni. Np. tak: oczywistym jest, że równanie \(\displaystyle{ 2p^2=q^2}\) nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych dodatnich (to zdanie wymaga głębszej analizy, czy tu nie przemycam podświadomie dowodu nie wprost - czemu oczywistym jest... ). Jeśli to wiemy, dostaniemy natychmiast, że równanie \(\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{p}{q}}\) też nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych.

[zozolek40]

\(\displaystyle{ \sqrt{2}p = q \\
2p^{2}=q^{2}}\)

nie rozumiem tych dwóch zapisów
skąd to się wzieło?:D

[miki999]

Wzięło się to z przekształcenia równania \(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{p}{q}}\). W 1. kroku pomnożenie obustronne równania przez \(\displaystyle{ p}\), w kolejnym kroku podniesienie do kwadratu.

Cały dowód niewymierności można znaleźć również na: ... 5.9B.C4.87


Pozdrawiam.

[Jan Kraszewski]

Wzięło się to z przekształcenia równania \(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{p}{q}}\). W 1. kroku pomnożenie obustronne równania przez \(\displaystyle{ p}\), w kolejnym kroku podniesienie do kwadratu.

Jesteś pewien? Co to forum robi z człowieka...

\(\displaystyle{ \sqrt{2}p = q \\
2p^{2}=q^{2}}\)

nie rozumiem tych dwóch zapisów
skąd to się wzieło?:D

Z pomyłki, powinno być

\(\displaystyle{ \sqrt{2}q = p \\
2q^{2}=p^{2}}\)

JK

[gryxon]

Faktycznie, przepraszam za głupi błąd ;- ].

[luka52]

To zależy co oznacza "prościej"
Na naszym facebooku podawaliśmy następujący dowód:

James Gauntt w 1952 roku podał następujący ciekawy dowód niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), oto argumentacja: równanie \(\displaystyle{ a^2 = 2b^2}\) nie może mieć innych rozwiązań w liczbach całkowitych poza przypadkiem trywialnym, gdyż ostatnia niezerowa cyfra kwadratu liczby całkowitej, zapisanej w trójkowym systemie liczbowym, musi być \(\displaystyle{ 1}\). Jednak ostatnia niezerowa cyfra podwojonego kwadratu wynosi \(\displaystyle{ 2}\).

[szw1710]

A więc mamy ładną argumentację dla tego, co chciałem. I cały dowód można poprowadzić wprost.