niewymierny pierwiastek kwadratowy i liczba rzeczywista

[koooala]

Zadanie 1 Pokazać, ze jezeli liczba dodatnia jest iloczynem róznych liczb pierwszych, to jej pierwiastek kwadratowy jest liczba niewymierna.

Zadanie 2 Korzystajac z faktu, ze dla danej liczby rzeczywistej istnieje zawsze wieksza od niej liczba naturalna udowodnic, ze w kazdym przedziale o lewym koncu w zerze istnieje zawsze liczba postaci 1/n, gdzie n jest liczbanaturalna.
Wykazace pomiedzy dwiema dowolnymi liczbami wymiernymi istnieje zawsze liczba niewymierna

z góry dziekuje

[K.Inc.]

Pierwsze zadanie wydaje sie byc intuicyjne.
Zakladamy ze \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) sa pierwsze
Wiec rozkladem na czynniki ich iloczynu beda pary\(\displaystyle{ p}\) \(\displaystyle{ q}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ pq}\).
Tak, wiec jesli istnialby pierwiastek wymierny to \(\displaystyle{ p=q}\) ale jest to sprzeczne z zalozeniami w zadaniu.
cnu.

[martaa]

Można to w podobny sposób uogólnić dla n liczb pierwszych (bo nie jest powiedziane, że nasza liczba to iloczyn dwóch liczb pierwszych...)

2. Niech końcem naszego przedziału będzie liczba rzeczywista x. Oczywiście wtedy też \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) jest liczbą rzeczywistą (bo x≠0) Wiemy (z faktu z zadania), że istnieje liczba naturalna (nazwijmy ją q) taka, że \(\displaystyle{ q>\frac{1}{x}}\). Zatem \(\displaystyle{ 0< \frac{1}{q} il, czyli \(\displaystyle{ p= \frac{kj}{lj} > \frac{x}{lj} > \frac{il}{lj} =q}\), a zatem liczba niewymierna \(\displaystyle{ \frac{x}{lj}}\) leży pomiędzy dwoma liczbami wymiernymi p i q, cnd.}\)