Suma i róznica dwóch kwadratów

[MichG991]

Chciałbym się dowiedzieć, czy istnieją takie liczby naturalne dodatnie, że:

\(\displaystyle{ \begin{cases} m^{2} + h^{2} = p^{n} \\ m^{2} - h^{2} = k^{n} \end{cases}}\)

Dodam, że wszystkie liczby tutaj mają być naturalne i większe od 1. Ponadto n ma być parzyste. Generalnie pytanie brzmi: czy istnieją dwie takie liczby m i h, że będą tworzyły dwie różne trójki pitagorejskie. Mnie się wydaje, że nie, ale nie potrafię tego udowodnić.

[Ponewor]

po dodaniu stronami mamy:

\(\displaystyle{ 2m^{2}=p^{n}+k^{n}}\)

skąd od razu uzyskujemy sprzeczność, bowiem po lewej stronie \(\displaystyle{ 2}\) jest zawsze w nieparzystej potędze, zaś po prawej w parzystej.

EDIT
po zastanowieniu może to nie jest takie oczywiste:

niech \(\displaystyle{ m= \prod_{i=1}^{a}m_{i}^{ \alpha _{i}} \qquad p= \prod_{i=1}^{b}p_{i}^{ \beta _{i}} \qquad k= \prod_{i=1}^{c}k_{i}^{ \gamma _{i}}}\) - (rozkład na czynniki pierwsze)

niech \(\displaystyle{ m_{1}=p_{1}=k_{1}=2}\)
oraz przyjmijmy, że \(\displaystyle{ \beta _{1} - \gamma _{1} = d > 0}\)
nasze równanie równoważne jest wówczas:
\(\displaystyle{ 2^{ 2 \alpha _{1} + 1} \prod_{i=2}^{a}m_{i}^{ 2 \alpha _{i}}=2^{n \cdot \beta _{1}} \prod_{i=2}^{b}p_{i}^{ n \cdot \beta _{i}}+2^{ n \cdot \gamma _{1} } \prod_{i=2}^{c}k_{i}^{ n \cdot \gamma _{i}}}\)
dalej mamy:
\(\displaystyle{ 2^{ 2 \alpha _{1} + 1} \prod_{i=2}^{a}m_{i}^{ 2 \alpha _{i}}=2^{n \cdot \gamma _{1}} \cdot \left( 2^{n \cdot d}\prod_{i=2}^{b}p_{i}^{ n \cdot \beta _{i}} + \prod_{i=2}^{c}k_{i}^{ n \cdot \gamma _{i}} \right)}\)
skąd wynika, że:
\(\displaystyle{ 2 \alpha _{1} + 1 = n \cdot \gamma _{1}}\)
z założenia mamy, że \(\displaystyle{ n = 2 n_{1}}\)
czyli: \(\displaystyle{ 2 \alpha _{1} + 1 = 2 n_{1} \cdot \gamma _{1}}\)
i teraz już z całą pewnością sprzeczność.

[MichG991]

Dziękuję bardzo za odpowiedź. Mógłbym jeszcze prosić o rozpatrzenie sprawy dla n nieparzystych?

-- 28 sie 2012, o 23:23 --

Proszę wybaczyć czepialstwo. Co, gdybyśmy nie mogli założyć, że wszystkie te liczby są parzyste. Wówczas uzyskana na dole równość byłaby spełniona, bowiem po lewej stronie mielibyśmy jedną dwójkę, a po drugiej gamma i d byłyby równe zero. Stąd po prawej stronie mielibyśmy sumę dwóch liczb nieparzystych, która z rezultacie także zwróciłaby przynajmniej jedną dwójkę. Nie musiałoby być wówczas tak, że l = p, co jest sprzeczne, bowiem l musi być większe od p?

[Ponewor]

Dziękuję bardzo za odpowiedź. Mógłbym jeszcze prosić o rozpatrzenie sprawy dla n nieparzystych?

rozumiem, że chodzi o \(\displaystyle{ n \ge 3}\)?

Proszę wybaczyć czepialstwo. Co, gdybyśmy nie mogli założyć, że wszystkie te liczby są parzyste. Wówczas uzyskana na dole równość byłaby spełniona, bowiem po lewej stronie mielibyśmy jedną dwójkę, a po drugiej gamma i d byłyby równe zero. Stąd po prawej stronie mielibyśmy sumę dwóch liczb nieparzystych, która z rezultacie także zwróciłaby przynajmniej jedną dwójkę. Nie musiałoby być wówczas tak, że l = p, co jest sprzeczne, bowiem l musi być większe od p?

czepialstwo nad wyraz uzasadnione. Przypadek \(\displaystyle{ d=0}\) muszę rozważyć osobno.

[MichG991]

Dokładnie. Dla jedynki jest oczywiście nieskończenie wiele rozwiązań. Z góry dziękuję za pomoc:)

[Ponewor]

Mnożymy równania układu stronami i resztę dowodu (dla \(\displaystyle{ n=2n_{1}}\)) znajdziesz tutaj

[MichG991]

Dziękuję bardzo:) Znałem tamten dowód, ale mi kompletnie umknął;) Jeśli znalazłbyś dla nieparzystych n, byłoby super:)