podzielność sumy przez 13
podzielność sumy przez 13
Dla jakich k suma potęg czternastki o wykładnikach od 1 do k dzieli się przez 13?
-
- Użytkownik
- Posty: 206
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 17 razy
- bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
podzielność sumy przez 13
\(\displaystyle{ 14^n=(13+1)^n=m_n\cdot13+1\ \ \ m_n\in \mathbb N}\)
stąd
\(\displaystyle{ a=\sum_{n=1}^{n=k}14^n=\sum_{n=1}^{n=k}(m_n\cdot13+1)=13\cdot \sum_{n=1}^{n=k}m_n+\sum_{n=1}^{n=k}1=13\cdot m+k}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{13}=m+\frac{k}{13}\ \ \ \to\ \ \ k=13\cdot l\ \ \ l\in\mathbb N}\)
stąd
\(\displaystyle{ a=\sum_{n=1}^{n=k}14^n=\sum_{n=1}^{n=k}(m_n\cdot13+1)=13\cdot \sum_{n=1}^{n=k}m_n+\sum_{n=1}^{n=k}1=13\cdot m+k}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{13}=m+\frac{k}{13}\ \ \ \to\ \ \ k=13\cdot l\ \ \ l\in\mathbb N}\)