podzielność sumy przez 13

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

podzielność sumy przez 13

Post autor: BlueSky »

Dla jakich k suma potęg czternastki o wykładnikach od 1 do k dzieli się przez 13?
Hassgesang
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 26 mar 2012, o 20:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 17 razy

podzielność sumy przez 13

Post autor: Hassgesang »

Hint: \(\displaystyle{ 14 = 13 + 1}\)
Dodatkowo wzór dwumianowy Newtona
Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 321 razy

podzielność sumy przez 13

Post autor: bb314 »

\(\displaystyle{ 14^n=(13+1)^n=m_n\cdot13+1\ \ \ m_n\in \mathbb N}\)

stąd
\(\displaystyle{ a=\sum_{n=1}^{n=k}14^n=\sum_{n=1}^{n=k}(m_n\cdot13+1)=13\cdot \sum_{n=1}^{n=k}m_n+\sum_{n=1}^{n=k}1=13\cdot m+k}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{13}=m+\frac{k}{13}\ \ \ \to\ \ \ k=13\cdot l\ \ \ l\in\mathbb N}\)
ODPOWIEDZ