Liczby pierwsze
Liczby pierwsze
Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4k+1.
Komuś się może udało dokładnie opracować ten problem?
Komuś się może udało dokładnie opracować ten problem?
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Liczby pierwsze
A bez wyciągania armaty na komara:
Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, \(\displaystyle{ n}\) liczbą naturalną taką, że \(\displaystyle{ p | 4n^2+1}\), to \(\displaystyle{ p =1 \ (mod \ 4}\).
Dowód lematu łatwy.
Jak już mamy ten lemat, to załóżmy, że jest skończenie wiele liczb pierwszych przystających \(\displaystyle{ 1}\) modulo 4. Niech tymi liczbami będą \(\displaystyle{ p_1, p_2,...,p_n}\). Niech \(\displaystyle{ N=4(p_1p_2...p_n)^2+1}\). Z lematu \(\displaystyle{ N}\) mogą dzielić jedynie liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\). Oczywiście żadna z liczb \(\displaystyle{ p_1,p_2,...,p_n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ N}\). Sprzeczność.
Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, \(\displaystyle{ n}\) liczbą naturalną taką, że \(\displaystyle{ p | 4n^2+1}\), to \(\displaystyle{ p =1 \ (mod \ 4}\).
Dowód lematu łatwy.
Jak już mamy ten lemat, to załóżmy, że jest skończenie wiele liczb pierwszych przystających \(\displaystyle{ 1}\) modulo 4. Niech tymi liczbami będą \(\displaystyle{ p_1, p_2,...,p_n}\). Niech \(\displaystyle{ N=4(p_1p_2...p_n)^2+1}\). Z lematu \(\displaystyle{ N}\) mogą dzielić jedynie liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\). Oczywiście żadna z liczb \(\displaystyle{ p_1,p_2,...,p_n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ N}\). Sprzeczność.
-
- Użytkownik
- Posty: 330
- Rejestracja: 21 sty 2012, o 20:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ut
- Podziękował: 182 razy
- Pomógł: 1 raz
Liczby pierwsze
jak udowodnic ten lemat ?? no bo kurcze ciagle probuje i jakiej bzdury mi wychodza ze nie wazne czy tam jest \(\displaystyle{ n}\) czy \(\displaystyle{ n^2}\) ze i tak dziala a przeciez to niemozliwe, musi miec znaczenie to \(\displaystyle{ n^2}\)
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Liczby pierwsze
Ogólnie jeżeli \(\displaystyle{ p \mid x^2+1}\) (załóżmy, że \(\displaystyle{ p \neq 2}\)) dla jakiegoś \(\displaystyle{ p\in \mathbb_{P}}\) to musi być \(\displaystyle{ p=4k+1}\). Istotnie, jakby nie wprost istniało takie całkowite x, że istniałoby takie \(\displaystyle{ p=4k+3}\), że \(\displaystyle{ p \mid x^2+1}\) to mielibyśmy wówczas \(\displaystyle{ x^2 \equiv -1\pmod{4k+3} /^{2k+1} \Rightarrow x^{4k+2} \equiv -1 \pmod{4k+3}}\) co przeczy małemu twierdzeniu Fermata.
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Liczby pierwsze
smigol pisze:Jak już mamy ten lemat, to załóżmy, że jest skończenie wiele liczb pierwszych przystających \(\displaystyle{ 1}\) modulo 4. Niech tymi liczbami będą \(\displaystyle{ p_1, p_2,...,p_n}\). Niech \(\displaystyle{ N=4(p_1p_2...p_n)^2+1}\). Z lematu \(\displaystyle{ N}\) mogą dzielić jedynie liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\). Oczywiście żadna z liczb \(\displaystyle{ p_1,p_2,...,p_n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ N}\). Sprzeczność.
Wyjaśnię tą sprzeczność dokładniej:
Zgadzam się.Z lematu \(\displaystyle{ N}\) mogą dzielić jedynie liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\).
Liczba N ma rozkład na czynniki pierwsze. Te czynniki pierwsze dzielą N. Zatem są postaci \(\displaystyle{ \left( 4k+1\right)}\) - istnieje taki czynnik, nawet gdy N jest pierwsze- wtedy jest to po prostu N.
Jak najbardziej. Ponieważ \(\displaystyle{ p_1,p_2,...,p_n}\) tworzą wszystkie liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ \left( 4k+1\right)}\) , więc nie istnieje liczba pierwsza tej postaci dzieląca N. Pogrubione teksty wskazują na sprzeczność.Oczywiście żadna z liczb \(\displaystyle{ p_1,p_2,...,p_n}\) nie dzieli N
Co by kończyło zadanie.
Liczby pierwsze
Ogólnie jeżeli \(\displaystyle{ p \mid x^2+1}\) (załóżmy, że \(\displaystyle{ p \neq 2}\))- skąd się wzięło coś takiego?
Liczby pierwsze
\(\displaystyle{ p \mid x^2+1}\) (załóżmy, że \(\displaystyle{ p \neq 2}\)) właśnie to.
Liczby pierwsze
Czyli żeby udowodnić ten fakt, który napisałam na początku, wystarczy udowodnić lemat, który został napisany w drugim poście?