Liczby pierwsze

[smigol]

\(\displaystyle{ p}\) jest liczba pierwszą, \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną.

Nasz lemat to jest taka implikacja:

Jeśli \(\displaystyle{ p}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ 4n^2+1}\), to \(\displaystyle{ p}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\).

Dowód lematu możesz sama sobie wymyślić, z resztą Vax pokazał dowód ogólniejszego lematu.

To rozumiesz?

[asqq]

Ok, to rozumiem. Tylko co dalej z tym lematem? Tzn do czego go wykorzystujemy przy dowodzie początkowego problemu?

[smigol]

A liczba \(\displaystyle{ N}\) (zdefiniowana przeze mnie w drugim poście tego tematu) nie jest przypadkiem takiej postaci jak w lemacie?

[asqq]

No tak, zgadza się. A jeżeli chodzi o dowód przeprowadzony przez Vaxa? Skąd tam się wzięło 4k+3?

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ p \neq 2}\) (a takie założenie podał Vax), to \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą nieparzystą, a więc nie może się dzielić przez \(\displaystyle{ 2}\), więc nie może być w postaci \(\displaystyle{ 4k}\) ani \(\displaystyle{ 4k+2}\). Zostaje więc...

[asqq]

Ok dobra, to już rozumiem. A jak najłatwiej pokazać dowód tego lematu, ale nie w ogólnym przypadku?

[Premislav]

Ja to robiłem jakoś z modulo (na pewno przewinęło się \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\)), gdyby nie mój durny błąd na samym początku, wyszłoby szybko. :]
EDIT: \(\displaystyle{ 4}\) to akurat niewiele tutaj daje, przepraszam, na pewno było tam \(\displaystyle{ 6}\).

[asqq]

A mógłbyś się podzielić tym dowodem?

[asqq]

To jak z tym dowodem? Próbuje, ale nic nie chce mi wyjść

[Premislav]

[tu były bzdety] Ten mój "dowód" to jeden wielki blef, o czym ostatecznie się przekonałem,przepraszam najmocniej za wprowadzenie w błąd (2 moje posty w tym temacie nadają się do usunięcia i tylko do tego).

[asqq]

Ale ja nie korzystałam z Twoich ostatnich "podpowiedzi", więc nie ma za co przepraszać.