Przepraszam, ale nie wiedziałem do którego działu to pasuje.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \left[ x \right] + \left[ x+ \frac{1}{n} \right] + \left[ x+ \frac{2}{n} \right] +...+ \left[ x+ \frac{n-1}{n} \right] = \left[ nx \right]}\)
Bardzo dziękuję za wszelką pomoc.
Część całkowita liczby.
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Część całkowita liczby.
\(\displaystyle{ \left[ x \right] + \left[ x+ \frac{1}{n} \right] + \left[ x+ \frac{2}{n} \right] +...+ \left[ x+ \frac{n-1}{n} \right] = \left[ nx \right]}\)
\(\displaystyle{ L=\left[ x \right] + \left[ x+ \frac{1}{n} \right] + \left[ x+ \frac{2}{n} \right] +...+ \left[ x+ \frac{n-1}{n} \right]=[x]+\sum_{k=1}^{n-1}\left[x+\frac k n\right]}\)
oznaczmy
\(\displaystyle{ [x]=x-a ain[0,1)}\)
wówczas
\(\displaystyle{ \begin{cases}\left[x+\frac k n\right]=[x]\ \ \ dla\ \ \ 1 \le k<m=[n(1-a)]=[n-an]=n-[an]\\
\left[x+\frac k n\right]=[x]+1\ \ \ dla\ \ \ m \le k \le n-1\end{cases}}\)
i mamy
\(\displaystyle{ L=[x]+\sum_{k=1}^{m-1}[x]+\sum_{k=m}^{n-1}\left([x]+1\right)=[x]+(m-1)[x]+\sum_{k=m}^{n-1}[x]+\sum_{k=m}^{n-1}1=}\)
\(\displaystyle{ =[x]+m[x]-[x]+(n-m)[x]+(n-m)=m[x]+n[x]-m[x]+n-m=}\)
\(\displaystyle{ =n[x]+n-m=n[x]+n-\left(n-[an]\right)=n[x]+n-n+[an]=n[x]+[an]}\)
\(\displaystyle{ nx=n\left([x]+a\right)=n[x]+an}\)
\(\displaystyle{ P=[nx]=n[x]+[an]\ \ \ \ \to\ \ \ \ L=P}\)
\(\displaystyle{ L=\left[ x \right] + \left[ x+ \frac{1}{n} \right] + \left[ x+ \frac{2}{n} \right] +...+ \left[ x+ \frac{n-1}{n} \right]=[x]+\sum_{k=1}^{n-1}\left[x+\frac k n\right]}\)
oznaczmy
\(\displaystyle{ [x]=x-a ain[0,1)}\)
wówczas
\(\displaystyle{ \begin{cases}\left[x+\frac k n\right]=[x]\ \ \ dla\ \ \ 1 \le k<m=[n(1-a)]=[n-an]=n-[an]\\
\left[x+\frac k n\right]=[x]+1\ \ \ dla\ \ \ m \le k \le n-1\end{cases}}\)
i mamy
\(\displaystyle{ L=[x]+\sum_{k=1}^{m-1}[x]+\sum_{k=m}^{n-1}\left([x]+1\right)=[x]+(m-1)[x]+\sum_{k=m}^{n-1}[x]+\sum_{k=m}^{n-1}1=}\)
\(\displaystyle{ =[x]+m[x]-[x]+(n-m)[x]+(n-m)=m[x]+n[x]-m[x]+n-m=}\)
\(\displaystyle{ =n[x]+n-m=n[x]+n-\left(n-[an]\right)=n[x]+n-n+[an]=n[x]+[an]}\)
\(\displaystyle{ nx=n\left([x]+a\right)=n[x]+an}\)
\(\displaystyle{ P=[nx]=n[x]+[an]\ \ \ \ \to\ \ \ \ L=P}\)