Suma potęg z podzielnością

[tatteredspire]

Czy warunek \(\displaystyle{ n \mid \sum_{i=1}^{n-1} i^{n-1}+1}\) może spełniać \(\displaystyle{ k}\) kolejnych (niekoniecznie \(\displaystyle{ k}\) początkowych) liczb naturalnych, gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest większe od dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\)?

[marcin7Cd]

Zadanie 18. z 101 Nierozwiązanych
wydawało mi się, że będzie trudniejsze

Ukryta treść:    

Dla \(\displaystyle{ 4|n}\) podzielność nie działa. Weźmy \(\displaystyle{ n=4l}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in Z}\) \(\displaystyle{ i^{4l-1}=i^{4(l-1)+3}\equiv i^3 \pmod{4}}\), to jest prawda, bo dla \(\displaystyle{ 2|i}\) działa,a dla \(\displaystyle{ 2 \nmid i \Rightarrow i^2\equiv 1 \pmod{4}}\), wiec też zachodzi. Oznacza to, że \(\displaystyle{ \sum^{n-1}_{i=1}i^{n-1}+1\equiv \sum^{n-1}_{i=1}i^3+1\equiv\left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^2+1 \equiv \left( 2l(4l-1)\right)^2+1\equiv \\ \equiv 4l^2(4l-1)^2+1\equiv 1 \pmod{4}}\)
Oznacza to, że \(\displaystyle{ k \le 3}\)