Multiplikatywna funkcja d

[patricia__88]

Funkcja \(\displaystyle{ d}\) jest multiplikatywna, gdzie \(\displaystyle{ d(a)}\) oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby naturalnej \(\displaystyle{ a}\)

Dowód: Dla dowolnych względnie pierwszych liczb \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{N}}\) można powiedzieć, że każdy dzielnik \(\displaystyle{ d}\) iloczynu \(\displaystyle{ ab}\) da się przedstawić jako iloczyn dzielnika \(\displaystyle{ a}\) i dzielnika \(\displaystyle{ b}\). I na odwrót: każdy taki iloczyn jest dzielnikiem iloczynu \(\displaystyle{ ab}\), tzn. jeśli \(\displaystyle{ d=d_{1}d_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ d_{1}|a, \ d_{2}|b}\), to \(\displaystyle{ d|ab}\). Ponieważ liczba \(\displaystyle{ d}\) może być podzielna tylko przez te liczby pierwsze, które dzielą \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b}\), zatem można zapisać: \(\displaystyle{ d=\prod\limits_{p|a}p^{\alpha_{i}} \prod\limits_{p|b}p^{\beta_{i}}}\). Oznaczając pierwszy czynnik przez \(\displaystyle{ d_{1}}\), drugi przez \(\displaystyle{ d_{2}}\) otrzymujemy, z uwagi na \(\displaystyle{ (a,b)=1}\) nierówności \(\displaystyle{ \alpha_{i} \leq \alpha_{i}(a), \ \beta_{i} \leq \beta_{i}(b)}\). Zatem \(\displaystyle{ d_{1}}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ d_{2}}\) dzieli \(\displaystyle{ b}\). Stąd \(\displaystyle{ d(ab)=d(a)d(b)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{N} \ \wedge (a,b)=1}\).


W powyższym dowodzie nie rozumiem jednej rzeczy, mianowicie dlaczego \(\displaystyle{ \alpha_{i} \leq \alpha_{i}(a), \ \beta_{i} \leq \beta_{i}(b)}\)-- 31 lip 2012, o 13:33 --Może w tym wyrażeniu jest jakiś błąd? Ja chyba zmieniłam to, w książce o ile dobrze pamiętam chyba było \(\displaystyle{ \alpha_{i} \leq \beta_{i}(a), \ \beta_{i} \leq \beta_{i}(b)}\), ale nie jestem pewna, jakoś mi to nie pasowało do niczego, więc zmieniłam, ale czy wówczas to jest dobrze i co to oznacza