Równania diofantyczne

[tatteredspire]

Przyjmijmy \(\displaystyle{ \mathbb{N}=\left\{ 1,2,3,...\right\}}\) oraz że \(\displaystyle{ a_i_s,b_i_s \in \mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ i,s \in \mathbb{N}}\), gdzie indeks \(\displaystyle{ s}\) oznacza \(\displaystyle{ s}\) - te równanie, żeby podkreślić, że liczby \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n}\) oraz liczby \(\displaystyle{ b_1,b_2,...,b_n}\)w różnych równaniach mogą być różne.

Niech \(\displaystyle{ (k,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}}\) będzie dowolną parą uporządkowaną (\(\displaystyle{ k,n}\) traktujemy jako liczby dane) dla której każde z nieskończenie wielu równań \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_i_1^k=1,\sum_{i=1}^{n} a_i_2^k=2,\sum_{i=1}^{n} a_i_3^k=3,...}\) ma co najmniej jedno rozwiązanie.

Czy istnieje para uporządkowana \(\displaystyle{ (m,r) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}}\) taka, że \(\displaystyle{ m>k \wedge r>n}\) i dla której każde z nieskończenie wielu równań \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{r} b_i_1^m=1,\sum_{i=1}^{r} b_i_2^m=2,\sum_{i=1}^{r} b_i_3^m=3,...}\) ma co najmniej jedno rozwiązanie?