Równanie diofantyczne

[tatteredspire]

Czy równanie \(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2-1}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach pierwszych?

[bartek118]

Jeżeli po prawej stronie nie ma dwójki, to prawa strona jest parzysta, a co za tym idzie \(\displaystyle{ a=2}\), a stąd \(\displaystyle{ 5 = b^2 + c^2}\), a to nie ma rozwiązań pierwszych. Czyli niech bez straty ogólności \(\displaystyle{ b=2}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ a^2 = 3 + c^2}\)

Czyli \(\displaystyle{ (a-c)(a+c)=3}\). \(\displaystyle{ a+c \neq 1}\), i \(\displaystyle{ a+c > 0}\), czyli \(\displaystyle{ a+c = 3}\), a to nie ma rozwiązania w liczbach pierwszych.

[mol_ksiazkowy]

a to nie ma rozwiązania w liczbach pierwszych

Ale przeciez moze byc np \(\displaystyle{ 7^2 =5^2+5^2 -1}\) etc.

[Ponewor]

Jeżeli po prawej stronie nie ma dwójki, to prawa strona jest parzysta, a co za tym idzie \(\displaystyle{ a=2}\), a stąd \(\displaystyle{ 5 = b^2 + c^2}\), a to nie ma rozwiązań pierwszych. Czyli niech bez straty ogólności \(\displaystyle{ b=2}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ a^2 = 3 + c^2}\)

Czyli \(\displaystyle{ (a-c)(a+c)=3}\). \(\displaystyle{ a+c \neq 1}\), i \(\displaystyle{ a+c > 0}\), czyli \(\displaystyle{ a+c = 3}\), a to nie ma rozwiązania w liczbach pierwszych.

chyba nie zauważyłeś \(\displaystyle{ -1}\)

[bartek118]

Ajjj, dobra, przepraszam, po prawej jak nie ma dwójki to jest liczba nieparzysta. To w takim razie spróbowałbym czegoś takiego:
\(\displaystyle{ a^2 - c^2 = b^2 - 1}\)

\(\displaystyle{ (a-c)(a+c) = (b-1)(b+1)}\)

[tatteredspire]

Wydaje mi się, że może być problem z oszacowaniem tego - co prawda odległości między kolejnymi liczbami pierwszymi mogą być dowolnie długie, mamy pewne ograniczenia wynikające z twierdzenia Czebyszewa jeśli chodzi o liczby pierwsze, ale nie wiem czy da się to jakoś powiązać z tym równaniem. Wiadomo, ze jeśli \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) spełnia równanie, to \(\displaystyle{ (a,c,b)}\) też spełnia, ponadto można założyć, że \(\displaystyle{ a>b \ge c}\), ale to raczej niewiele daje.