twierdzenie o resztach?

[lukasz1415]

Jak można się do tego zabrać:
\(\displaystyle{ x^3+y^4=z^5}\)

wskazówka: \(\displaystyle{ 2^n+2^n=2^{n+1}}\)

\(\displaystyle{ x^4+y^5=z^6}\)

wskazówka: przemnożyć równość \(\displaystyle{ 1+3=4}\) przez \(\displaystyle{ 2^n*3^m}\)

[Vax]

1) 263032.htm?hilit=%2060n

2) Tak samo, mamy prawdziwą równość:

\(\displaystyle{ 2^{n}3^{m}+2^n3^{m+1} = 2^{n+2}3^m}\)

Chcemy, aby dane m,n spełniały:

\(\displaystyle{ \begin{cases} n \equiv 0\pmod{4} \\ m \equiv 0\pmod{4} \\ n \equiv 0\pmod{5} \\ m+1 \equiv 0\pmod{5} \\ n+2 \equiv 0\pmod{6} \\ m \equiv 0\pmod{6} \end{cases}}\)

A stąd już łatwo dostać: \

\(\displaystyle{ \begin{cases} n \equiv 40 \pmod{60} \iff n = 60k+40 , k \in \mathbb_{Z} \\ m \equiv 24 \pmod{120} \iff m = 120l+24 , l \in \mathbb_{Z}\end{cases}}\)

Czyli równość \(\displaystyle{ x^4+y^5=z^6}\) spełniają trójki:

\(\displaystyle{ (x,y,z) = (2^{15k+10}3^{30l+6} , 2^{12k+8}3^{24l+5} , 2^{10k+7}3^{20l+4}) , k,l \in \mathbb_{Z}_+}\)

[lukasz1415]

dobre

skąd wiadomo było, że te potęgi potem tak pięknie się ułożą?
czy to po prostu ktoś doszedł do tego podstawienia \(\displaystyle{ 2^n}\) oraz \(\displaystyle{ 3^m}\) metodą prób i błędów

[Zordon]

jakie jest polecenie w zadaniu?

[lukasz1415]

chodziło mi o to przejście (że te liczby będą pasowały):
\(\displaystyle{ 2^{60n+24} + 2^{60n+24} = 2^{60n+25}}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ (2^{20n+8})^3 + (2^{15n+6})^4 = (2^{12n+5})^5}\)

czy to jest takie oczywiste, że tylko potęgi liczb 2 będą spełniały równość - a może to tylko jeden z odkrytych sposobów?