duza liczba

[profesorq]

Srawdz czy liczba \(\displaystyle{ {100\choose 0}2^{100}+{100\choose 1}2^{99}+{100\choose 2}2^{98}+...+{100\choose 99}2^{1}+{100\choose 100}2^{0}}\)
a) jest parzysta czy nieparzysta
b) podzielna przez \(\displaystyle{ 3^2}\)
c) podzielna przez \(\displaystyle{ 3^{50}}\)

[przemk20]

Zauwazamy ze
\(\displaystyle{ \\
(2+1)^{100}= {100 \choose 0}2^{100}1^{0}+{100\choose 1}2^{99}1^{2}+....+
{100 \choose 99} 2^{1}1^{99} +{100 \choose 100} 2^{0}1^{100}}\)
Teraz to juz chyba widac
Pozdrawiam!

[profesorq]

no w sumie to widac,
czyli bedzie podzielna przec odp b i c
a co z parzystoscia??

[Tristan]

2 oczywiście nie dzieli \(\displaystyle{ 3^{100}}\), bo liczba ta w rozkładzie na czynniki piewsze ma same trójki i ani jednej dwójki.

[profesorq]

no jak nie przeciez 3^2=3*3 tez same trojki

\(\displaystyle{ \frac{3^{100}}{3^2}=3^{98}}\)

[Tristan]

Nie rozumiem, o co Ci chodzi? 2 przecież nie dzieli \(\displaystyle{ 3^2}\).

[profesorq]

no wiem ze dwa nie dzieli a w poleceniu jest cos takiego zeby dzielic przez 2 ??

[Tristan]

Liczba jest parzysta, gdy jest podzielna przez 2