suma potęg będąca kwadratem liczb naturalnych

[tatteredspire]

Czy istnieje liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ i}\) różna od \(\displaystyle{ 3}\) aby przy wszelkim całkowitym dodatnim \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^i}\) była kwadratem liczby całkowitej?

[Sylwek]

Podpowiedź: prawdziwość tezy dla pewnego \(\displaystyle{ i \ge 4}\) implikuje, że \(\displaystyle{ 1+2^i=a^2 \iff 2^i=(a-1)(a+1)}\), co można szybko obalić.