Podzielnosc kwadratow implikuje podzielnosc nie-kwadratow.
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Podzielnosc kwadratow implikuje podzielnosc nie-kwadratow.
Udowodnić - przy pomocy definicji. Oczywiście założenie to \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z}}\)
-
lastsigma
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 23:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 4 razy
Podzielnosc kwadratow implikuje podzielnosc nie-kwadratow.
Wskazówka numer 1:
Wskazówka numer 2 - niekoniecznie związana bezpośrednio z pierwszą wskazówką:
Wskazówka numer 3:
Wskazówka numer 4:
Ukryta treść:
Ukryta treść:
Ukryta treść:
Ukryta treść:
-
OQO
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 10 cze 2012, o 20:46
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 2 razy
Podzielnosc kwadratow implikuje podzielnosc nie-kwadratow.
Dopiero zaczynam z tym wszystkim zapoznawac, wiec poki co nie bardzo jeszcze czuje tematu - prosze o sprostowania i uwagi bo sa one dla mnie bardzo cenne. Oto co do tej pory udalo mi sie wymyslic:
Skoro \(\displaystyle{ b^2 \mid a^2}\), to \(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2} = k}\), wiec jesli
\(\displaystyle{ a = p_1 ^ {\alpha_1}...p_n ^ {\alpha_n}, b = q_1 ^ {\beta_1}...q_m ^ {\beta_m}}\), to
\(\displaystyle{ a^2 = p_1 ^ {2\alpha_1}...p_n ^ {2\alpha_n}, b^2 = q_1 ^ {2\beta_1}...q_m ^ {2\beta_m}}\)
Wobec tego (i tutaj nie wiem dlaczego tak ma byc) skoro ich iloraz ma byc liczba calkowita \(\displaystyle{ k}\), to mianownik musi sie w calosci skrocic, i zostaje \(\displaystyle{ k=r_1 ^ {2\gamma_1}...r_s ^ {2\gamma_s}}\), czyli \(\displaystyle{ k=l^2}\), i dalej juz wiadomo. Ale w ogole nie rozumiem dlaczego tak jest! Jak rozumiec to skracanie? Czy to w ogole jest poprawnie i czy nie da sie tego prosciej zapisac?
Skoro \(\displaystyle{ b^2 \mid a^2}\), to \(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2} = k}\), wiec jesli
\(\displaystyle{ a = p_1 ^ {\alpha_1}...p_n ^ {\alpha_n}, b = q_1 ^ {\beta_1}...q_m ^ {\beta_m}}\), to
\(\displaystyle{ a^2 = p_1 ^ {2\alpha_1}...p_n ^ {2\alpha_n}, b^2 = q_1 ^ {2\beta_1}...q_m ^ {2\beta_m}}\)
Wobec tego (i tutaj nie wiem dlaczego tak ma byc) skoro ich iloraz ma byc liczba calkowita \(\displaystyle{ k}\), to mianownik musi sie w calosci skrocic, i zostaje \(\displaystyle{ k=r_1 ^ {2\gamma_1}...r_s ^ {2\gamma_s}}\), czyli \(\displaystyle{ k=l^2}\), i dalej juz wiadomo. Ale w ogole nie rozumiem dlaczego tak jest! Jak rozumiec to skracanie? Czy to w ogole jest poprawnie i czy nie da sie tego prosciej zapisac?
-
lastsigma
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 23:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 4 razy
Podzielnosc kwadratow implikuje podzielnosc nie-kwadratow.
Mamy:
\(\displaystyle{ x = \frac{a^2}{b^2}}\)
Niech liczba \(\displaystyle{ a^2}\) jest postaci:
\(\displaystyle{ a^2 = p_{1} ^{ 2a_{1} } \cdot p_{2} ^{ 2a_{2} } ... p_{k} ^{ 2a_{k} }}\)
Liczba \(\displaystyle{ b^2}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ a^2}\) stąd musi być ona postaci:
\(\displaystyle{ b^2 = p_{1} ^{ 2b_{1} } \cdot p_{2} ^{ 2b_{2} } ... p_{k} ^{ 2b_{k} }}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ 0 \le b_{i} \le a_{i}}\) dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ 1 \le i \le k}\)
Oczywiście przy dzieleniu korzystamy z odejmowania wykładników i dostajemy:
\(\displaystyle{ x = p_{1} ^{ 2a_{1} - 2b_{1}} \cdot p_{2} ^{ 2a_{2} - 2b_{2}} ... p_{k} ^{ 2a_{k} - 2b_{k} }}\)
... czyli widać że wszystkie wykładniki będą parzyste.
Cały trick polega na tym, że w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ b^2}\) na czynniki pierwsze nie może pojawić się liczba pierwsza, która nie pojawiła się w rozkładzie \(\displaystyle{ a^2}\) na czynniki pierwsze.
Jeśli tak by było to równanie:
\(\displaystyle{ x \cdot b^2 = a^2}\)
byłoby fałszem, gdyż po lewej stronie pojawiłby się czynnik pierwszy, który nie pojawia się po prawej stronie [Innymi słowy równość stałaby w sprzeczności z jednoznacznością rozkładu liczby naturalnej na czynniki pierwsze]
Edit1: Poprawiony zapis iloczynu
\(\displaystyle{ x = \frac{a^2}{b^2}}\)
Niech liczba \(\displaystyle{ a^2}\) jest postaci:
\(\displaystyle{ a^2 = p_{1} ^{ 2a_{1} } \cdot p_{2} ^{ 2a_{2} } ... p_{k} ^{ 2a_{k} }}\)
Liczba \(\displaystyle{ b^2}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ a^2}\) stąd musi być ona postaci:
\(\displaystyle{ b^2 = p_{1} ^{ 2b_{1} } \cdot p_{2} ^{ 2b_{2} } ... p_{k} ^{ 2b_{k} }}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ 0 \le b_{i} \le a_{i}}\) dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ 1 \le i \le k}\)
Oczywiście przy dzieleniu korzystamy z odejmowania wykładników i dostajemy:
\(\displaystyle{ x = p_{1} ^{ 2a_{1} - 2b_{1}} \cdot p_{2} ^{ 2a_{2} - 2b_{2}} ... p_{k} ^{ 2a_{k} - 2b_{k} }}\)
... czyli widać że wszystkie wykładniki będą parzyste.
Cały trick polega na tym, że w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ b^2}\) na czynniki pierwsze nie może pojawić się liczba pierwsza, która nie pojawiła się w rozkładzie \(\displaystyle{ a^2}\) na czynniki pierwsze.
Jeśli tak by było to równanie:
\(\displaystyle{ x \cdot b^2 = a^2}\)
byłoby fałszem, gdyż po lewej stronie pojawiłby się czynnik pierwszy, który nie pojawia się po prawej stronie [Innymi słowy równość stałaby w sprzeczności z jednoznacznością rozkładu liczby naturalnej na czynniki pierwsze]
Edit1: Poprawiony zapis iloczynu