Witam, nie potrafie zrozumiec pewnego przejscia w dowodzie niewymiernosci pierwsiatka z \(\displaystyle{ n}\).
Niech \(\displaystyle{ n > 1}\) bedzie liczba naturalna niebedaca kwadratem innej liczby naturalnej. Zakladamy ze w reprezentacji \(\displaystyle{ n}\) jako iloczynu liczb pierwszych nie ma czynnikow bedacych kwadratami. Nie wprost, niech \(\displaystyle{ n=\frac{a}{b}}\), stad \(\displaystyle{ b^2 n = a^2}\), czyli \(\displaystyle{ a^2 | n}\). W ksiazce jest napisane ze z tego 'latwo wynika' ze \(\displaystyle{ a|n}\), ale niestety nie wiem dlaczego, prosze o wyjasnienie.
Problem w dowodzie niewymiernosci pierwiastka z n
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Problem w dowodzie niewymiernosci pierwiastka z n
\(\displaystyle{ a^2 \mid n \iff n = k\cdot a^2 = k\cdot a \cdot a}\) dla pewnego całkowitego \(\displaystyle{ k}\), ale prawa strona dzieli się przez \(\displaystyle{ a}\), więc lewa również, czyli \(\displaystyle{ a \mid n}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 10 cze 2012, o 20:46
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 2 razy
Problem w dowodzie niewymiernosci pierwiastka z n
Przepraszam, pomylilam sie w przepisywaniu! Powinno byc:
\(\displaystyle{ b^2 n = a^2 \Rightarrow n|a^2}\) i teraz dlaczego \(\displaystyle{ n|a}\) ?-- 7 lip 2012, o 16:55 --Juz znalazlam odpowiedz. Jakby kogos interesowalo:
Zakladamy ze \(\displaystyle{ n}\) nie ma czynnikow kwadratowych i ze \(\displaystyle{ n|a^2}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) to jakas liczba naturalna. Chcemy pokazac ze \(\displaystyle{ n|a}\).
Nie wprost, zalozmy ze tak nie jest, wtedy zostaje reszta po podzieleniu \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ a = kn + r}\), \(\displaystyle{ 0<r<n}\)
Podnoszac to do kwadratu i porzadkujac, dostajemy
\(\displaystyle{ a^2 - k^2 n^2 - 2knr = r^2}\)
Poniewaz \(\displaystyle{ n|a^2}\), to lewa strona jest wielokrotnoscia \(\displaystyle{ n}\), czyli prawa tez wiec \(\displaystyle{ n|r^2}\). Ale z zalozenia n nie mialo zadnych czynnikow kwadratowych. Czyli \(\displaystyle{ r=0}\)
\(\displaystyle{ b^2 n = a^2 \Rightarrow n|a^2}\) i teraz dlaczego \(\displaystyle{ n|a}\) ?-- 7 lip 2012, o 16:55 --Juz znalazlam odpowiedz. Jakby kogos interesowalo:
Zakladamy ze \(\displaystyle{ n}\) nie ma czynnikow kwadratowych i ze \(\displaystyle{ n|a^2}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) to jakas liczba naturalna. Chcemy pokazac ze \(\displaystyle{ n|a}\).
Nie wprost, zalozmy ze tak nie jest, wtedy zostaje reszta po podzieleniu \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ a = kn + r}\), \(\displaystyle{ 0<r<n}\)
Podnoszac to do kwadratu i porzadkujac, dostajemy
\(\displaystyle{ a^2 - k^2 n^2 - 2knr = r^2}\)
Poniewaz \(\displaystyle{ n|a^2}\), to lewa strona jest wielokrotnoscia \(\displaystyle{ n}\), czyli prawa tez wiec \(\displaystyle{ n|r^2}\). Ale z zalozenia n nie mialo zadnych czynnikow kwadratowych. Czyli \(\displaystyle{ r=0}\)