Przestępność liczby

[tatteredspire]

Czy istnieje taka para liczb wymiernych \(\displaystyle{ (a,b)}\), że różnica \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\) jest liczbą przestępną?

[Zordon]

Nie, ponieważ zbiór liczb algebraicznych stanowi ciało. Czyli w szczególności, sumowanie liczb algebraicznych daje liczbę algebraiczną.

[tatteredspire]

Dzięki Zordon

A da się to bardziej konstruktywnie pokazać - np. wskazać wielomian o współczynnikach całkowitych, którego ta liczba jest pierwiastkiem ? Albo rozbić to na skończoną liczbę przypadków, by to pokazać (tak jak np. rozważa się wszystkie możliwe reszty liczb, by wykazać podzielność)? Wydaje mi się, że może być z tym problem w ogólności, ale pewności nie mam. Gdyby ktoś wiedział jak w ten sposób to zrobić, to może tutaj o tym napisać.

[Qń]

A da się to bardziej konstruktywnie pokazać - np. wskazać wielomian o współczynnikach całkowitych, którego ta liczba jest pierwiastkiem ?

Oznaczmy dla wygody \(\displaystyle{ \sqrt[3]{b}=c}\). Mamy kolejno:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{a}-c=x\\
a=(x+c)^3\\
a= x^3+c^3+3xc(x+c)\\
a-x^3-c^3=3xc(x+c)\\
(a-x^3-c^3)^3=27x^3c^3(x+c)^3\\
(a-x^3-c^3)^3=27x^3c^3a\\
(a-x^3-b)^3=27x^3ba}\)
skąd oczywiście liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\) jest pierwiastkiem wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x)=(a-x^3-b)^3-27x^3ba}\)

Q.