Funkcja Eulera

[patricia__88]

Mam taką funkcję tworzącą Dirichleta
\(\displaystyle{ \widetilde{G}(z)=\prod_{p}\left(1+\frac{g_p}{p^z}+\frac{g_{p^2}}{p^{2z}}+\frac{g_{p^3}}{p^{3z}}+\ldots \right), \ \textrm{gdzie} \ p-\textrm{liczba pierwsza}.}\)
Wstawiając za G funckję Eulera, która określona jest dla wszystkich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) i jest wartością tych liczb w ciągu \(\displaystyle{ (0,1,2,\ldots,n-1)}\), które są pierwsze względem \(\displaystyle{ n}\) powiino wyjsc cos takiego:
\(\displaystyle{ \widetilde{\phi}(z)=\prod_{p}\left(1+\frac{p-1}{p^z-p}\right)}\)

Czy mógłby ktos pokazać jak do tego dojść?

-- 3 lip 2012, o 20:22 --

\(\displaystyle{ \widetilde{\phi}(z)=\prod_{p}\left(1+\frac{\varphi(p)}{p^z}+\frac{\varphi(p^2)}{p^{2z}}+\frac{\varphi(p^3)}{p^{3z}}+\ldots \right)=\left(1+\frac{\varphi(2)}{2^z}+\frac{\varphi(4)}{2^{2z}}+\frac{\varphi(8)}{2^{3z}}+\ldots \right)\cdot \left(1+\frac{\varphi(3)}{3^z}+\frac{\varphi(9)}{3^{2z}}+\frac{\varphi(27)}{3^{3z}}+\ldots \right)\cdot \left(1+\frac{\varphi(5)}{5^z}+\frac{\varphi(25)}{5^{2z}}+\frac{\varphi(125)}{5^{3z}}+\ldots \right)\cdot \ldots=\left(1+\frac{1}{2^z}+\frac{2}{2^{2z}}+\frac{4}{2^{3z}}+\ldots \right)\cdot \left(1+\frac{2}{3^z}+\frac{6}{3^{2z}}+\frac{18}{3^{3z}}+\ldots \right)\cdot \left(1+\frac{4}{5^z}+\frac{20}{5^{2z}}+\frac{100}{5^{3z}}+\ldots \right)\cdot \ldots=?}\)

[ares41]

\(\displaystyle{ \widetilde{\phi} \left( z \right) =\prod_{p}\left(1+\frac{\varphi \left( p \right) }{p^z}+\frac{\varphi \left( p^2 \right) }{p^{2z}}+\frac{\varphi \left( p^3 \right) }{p^{3z}}+\ldots \right)=\prod_{p}\left( 1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi \left( p^n \right) }{p^{nz}} \right)=\\=\prod_{p}\left( 1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{p^n-p^{n-1}}{p^{nz}} \right)= \prod_{p}\left( 1+\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{p^n}{p^{nz}}- \frac{p^{n-1}}{p^{nz}} \right) \right)= \prod_{p}\left( 1+\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{p^n}{p^{nz}} \right) - \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{p^{n-1}}{p^{nz}} \right) \right)=\\ = \prod_{p}\left( 1+\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{p^{n \left( z-1 \right) }} \right) - \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{p^{n \left( z-1 \right) +1}} \right) \right)=\prod_{p}\left(1+ \frac{ \frac{1}{p^{z-1}} }{1-\frac{1}{p^{z-1}} } - \frac{\frac{1}{p} \cdot \frac{1}{p^{z-1}} }{1-\frac{1}{p^{z-1}} } \right)=\\=\prod_{p} \left( 1+ \frac{1}{p^{z-1}-1}- \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{p^{z-1}-1} \right)=\prod_{p} \left( 1+ \frac{1}{p^{z-1}-1}\cdot \left( 1- \frac{1}{p} \right) \right)=\\=\prod_{p} \left( 1+ \frac{1}{p^{z-1}-1}\cdot \frac{p-1}{p} \right)=\prod_{p} \left( 1+ \frac{p-1}{p^{z}-p} \right)}\)

[patricia__88]

A skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ \varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}}\)-- 3 lip 2012, o 20:49 --I jeszcze jedno pytanie: czy dla funkcji Mobiusa \(\displaystyle{ \mu}\) możemy to zapisać tak:
\(\displaystyle{ &\widetilde{M}(z)=\prod_{p}\left(1+\frac{\mu(p)}{p^z}+\frac{\mu(p^2)}{p^{2z}}+\frac{\mu(p^3)}{p^{3z}}+\ldots \right)=\left(1+\frac{\mu(2)}{2^z}+\frac{\mu(4)}{2^{2z}}+\frac{\mu(8)}{2^{3z}}+\ldots \right)\cdot \\
&\cdot \left(1+\frac{\mu(3)}{3^z}+\frac{\mu(9)}{3^{2z}}+\frac{\mu(27)}{3^{3z}}+\ldots \right)\cdot \left(1+\frac{\mu(5)}{5^z}+\frac{\mu(25)}{5^{2z}}+\frac{\mu(125)}{5^{3z}}+\ldots\right)\cdot \ldots =\\&=\left(1-\frac{1}{2^z}+0+0+\ldots\right)\left(1-\frac{1}{3^z}+0+0+\ldots\right)\left(1-\frac{1}{5^z}+0+0+\ldots\right)\ldots =\\
&=\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^z}\right)}\)
Czy musimy również ogólnie tak jak w przypadku funkcji Eulera?

[ares41]

A skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ \varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}}\)

To dosyć znana zależność.

Co do drugiego - może być, chociaż ładniej byłoby to zapisać tak :
\(\displaystyle{ &\widetilde{M} \left( z \right) =\prod_{p}\left(1+\frac{\mu \left( p \right) }{p^z}+\frac{\mu \left( p^2 \right) }{p^{2z}}+\frac{\mu \left( p^3 \right) }{p^{3z}}+\ldots \right)= \prod_{p} \left( 1+ \sum_{k=1}^{ \infty }\frac{\mu \left( p^k \right) }{p^{kz}} \right) =\\=\prod_{p} \left( 1+ \frac{\mu(p)}{p^{z}}+ \sum_{k=2}^{ \infty }\frac{\mu \left( p^k \right) }{p^{kz}} \right) =\prod_{p} \left( 1- \frac{1}{p^{z}} + \sum_{k=2}^{ \infty }\frac{\mu \left( p^k \right) }{p^{kz}} \right) =\prod_{p} \left( 1- \frac{1}{p^{z}} + \sum_{k=0}^{ \infty }\frac{\mu \left(p^2 \cdot p^k \right) }{p^{(k+2)z}} \right) =\\= \prod_{p} \left( 1- \frac{1}{p^{z}} \right)}\)

Zapisując w ten sposób widać wyraźnie, że ostatnia suma jest zerem.

[patricia__88]

Dziękuje bardzo:)