reszta z dzielenia

[WeronikaWeronika]

Jaka jest reszta z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 5^{99}}\) przez \(\displaystyle{ 13}\)?

[Qń]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ 5^2 \equiv -1\pmod{13}}\)

Q.

[WeronikaWeronika]

\(\displaystyle{ 5 ^{4k}=5(mod \ 13) \ ; \ 5 ^{4k+1}=12(mod \ 13) \ ; \ 5 ^{4k+2}=7(mod \ 13) \ ; \ 5^{4k+3}=1(mod \ 13)}\) czyli skoro 99=4k+3 to wynik powinien być 1, ale na egzaminie odpowiedź to 8?

[Qń]

\(\displaystyle{ 5 ^{4k}=5(mod \ 13)}\)

Nieprawda.

\(\displaystyle{ 5^{4}\equiv 1\pmod{13}}\)
więc:
\(\displaystyle{ 5^{4k}\equiv 1\pmod{13}}\)

Q.

[WeronikaWeronika]

o tak rzeczywiście, w takim razie wynikiem będzie 7 bo \(\displaystyle{ 5 ^{4k+3}=7(mod13)}\)
tak? Zatem wynik na egzaminie 8 jest błędny?

[Qń]

o tak rzeczywiście, w takim razie wynikiem będzie 7 bo \(\displaystyle{ 5 ^{4k+3}=7(mod13)}\)

Nie, dlaczego miałoby tak być?

Q.

[WeronikaWeronika]

rzeczywiście błędnie policzyłam resztę, dziękuję bardzo za pomoc