Funkcje tworzące Dirichleta - funkcja zeta Riemanna

[patricia__88]

Mam taki wzorek:
\(\displaystyle{ \widetilde{G}(z)=\prod_{p}\left(1+\frac{g_p}{p^z}+\frac{g_{p^2}}{p^{2z}}+\frac{p^3}{p^{3z}}+\ldots \right), \ \textrm{gdzie} \ p-\textrm{liczba pierwsza}.}\)
Wartości \(\displaystyle{ g_n}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\) są wyznaczone przez wartości \(\displaystyle{ g_n}\) dla \(\displaystyle{ n}\) będących potęgą liczby pierwszej.
Potrzebuję podstawić \(\displaystyle{ g_n=1}\).
Powinno wyjść coś takiego, jednak nie wiem skąd to się bierze:
\(\displaystyle{ \zeta(z)=\prod_{p}\left(\frac{1}{1-p^{-z}}\right)}\)

[ares41]

\(\displaystyle{ \widetilde{G} \left( z \right) =\prod_{p} \left( 1+\frac{g_p}{p^z}+\frac{g_{p^2}}{p^{2z}}+\ldots \right)= |g_n=1, \ n\in\mathbb{N}|= \prod_{p} \left( 1+\frac{1}{p^z}+\frac{1}{p^{2z}}+\ldots \right)=\\=\prod_{p} \left( \sum_{k=0}^{\infty}p^{-kz} \right) = \prod_{p} \left( \frac{1}{1-p^{-z}} \right)}\)

gdzie wykorzystaliśmy zależność : \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \alpha x^n= \frac{\alpha}{1-x}}\), dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) . ( Tutaj oczywiście jest \(\displaystyle{ 0<p^{-z}<1}\) )

[patricia__88]

Ok dzieki wielkie:)