Czy pierwiastek z dwóch da sie przedstawić jako ułamek ?

[bercik001]

Tak jak wyżej. Czy da sie zapisać

\(\displaystyle{ \sqrt{2}= \frac{m}{n}}\) pod taką postacią.Próbowałem zrobić to jakoś tak :

\(\displaystyle{ \sqrt{2}= \frac{m}{n}}\)
\(\displaystyle{ 2= \frac{m ^{2} }{n ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ m ^{2}=2n ^{2}}\)


Sr, jeżeli zły dział

[justynian]

Wujek google od razu mówi: ... 5.9B.C4.87

[wujomaro]

Włąśnie czytam w książce o dowodach na niewymierność liczby \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Liczba niewymierna to taka, której nie da się przedstawić za pomocą \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\).
Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą niewymierną.
Pozdrawiam!

[Vilishion]

To co ty napisałeś to dowód na to, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą niewymierną (co oznacza, że nie da się przedstawić w postaci ułamka). Musi być tylko założenie, że n;m są liczbami naturalnymi.

Gdy dochodzisz do \(\displaystyle{ m ^{2} =2n ^{2}}\) musisz napisać komentarz:

Po lewej stronie mamy kwadrat pewnej liczby. Gdybyśmy rozłożyli \(\displaystyle{ m ^{2}}\) na czynniki pierwsze to wszystkie występowałyby w parzystej liczbie. Natomiast po prawej stronie mamy kwadrat pewnej liczby razy 2. A to oznacza, że czynnik 2 w rozkładzie tej liczby na czynniki pierwsze występuje nieparzystą liczbę razy, więc dochodzimy do sprzeczności. To dowodzi, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) nie da się przedstawić w postaci ułamka.