Podstawowe twierdzenie arytmetyki - dowód
Podstawowe twierdzenie arytmetyki - dowód
Czy istnieje bardziej przystępny dowód zasadniczego twierdzenia arytmetyki niż ten podany na polskiej Wikipedii?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Podstawowe twierdzenie arytmetyki - dowód
Istnieje szereg dowodów tego twierdzenia,
Proponuję dowód Pana Prof. Wacława Sierpińskiego w jego książce Arytmetyka Teoretyczna, PWN Warszawa.
Proponuję dowód Pana Prof. Wacława Sierpińskiego w jego książce Arytmetyka Teoretyczna, PWN Warszawa.
-
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 10 cze 2012, o 20:46
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 2 razy
Podstawowe twierdzenie arytmetyki - dowód
Ja znam taki, prosze mnie poprawic jezeli sie myle:
Pokazanie ze w ogole istnieje rozklad na pierwsze jest bardzo latwe przez indukcje. Teraz jezeli \(\displaystyle{ n=2}\) to w oczywisty sposob rozklad jest jednoznaczny. Zakladamy ze pokazalismy twierdzenie dla wszystkich liczb \(\displaystyle{ 2,3,...,n-1}\) (to jest jedna z rownowaznych wersji tw o indukcji matematycznej, znacznie bardziej wygodna tutaj). Teraz patrzymy na \(\displaystyle{ n}\) i rozkladamy na czynniki pierwsze. Zeby pokazac ze rozklad jest jednoznaczny, zakladamy ze nie jest:
\(\displaystyle{ n=p_1 ... p_s = q_1 ... q_t}\).
Widac stad ze \(\displaystyle{ p_1}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\), czyli dzieli iloczyn \(\displaystyle{ q_1 ... q_t}\), czyli dzieli ktorys z jego czynnikow, rownie dobrze moze byc to \(\displaystyle{ q_1}\). Ale \(\displaystyle{ p_1, q_1}\) sa obie pierwsze, wiec z tej podzielnosci wynika ich rownosc. Dlatego mozemy skrocic stronami przez \(\displaystyle{ p_1}\):
\(\displaystyle{ \frac{n}{p_1} = p_2 ... p_s = q_2 ... q_t}\)
Ale \(\displaystyle{ 1<\frac{n}{p_1}<n}\) wiec mozna skorzystac z zalozenia indukcyjnego, stad rozklad jest jednoznaczny co konczy dowod.
Pokazanie ze w ogole istnieje rozklad na pierwsze jest bardzo latwe przez indukcje. Teraz jezeli \(\displaystyle{ n=2}\) to w oczywisty sposob rozklad jest jednoznaczny. Zakladamy ze pokazalismy twierdzenie dla wszystkich liczb \(\displaystyle{ 2,3,...,n-1}\) (to jest jedna z rownowaznych wersji tw o indukcji matematycznej, znacznie bardziej wygodna tutaj). Teraz patrzymy na \(\displaystyle{ n}\) i rozkladamy na czynniki pierwsze. Zeby pokazac ze rozklad jest jednoznaczny, zakladamy ze nie jest:
\(\displaystyle{ n=p_1 ... p_s = q_1 ... q_t}\).
Widac stad ze \(\displaystyle{ p_1}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\), czyli dzieli iloczyn \(\displaystyle{ q_1 ... q_t}\), czyli dzieli ktorys z jego czynnikow, rownie dobrze moze byc to \(\displaystyle{ q_1}\). Ale \(\displaystyle{ p_1, q_1}\) sa obie pierwsze, wiec z tej podzielnosci wynika ich rownosc. Dlatego mozemy skrocic stronami przez \(\displaystyle{ p_1}\):
\(\displaystyle{ \frac{n}{p_1} = p_2 ... p_s = q_2 ... q_t}\)
Ale \(\displaystyle{ 1<\frac{n}{p_1}<n}\) wiec mozna skorzystac z zalozenia indukcyjnego, stad rozklad jest jednoznaczny co konczy dowod.
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Podstawowe twierdzenie arytmetyki - dowód
W dziele pod tytułem: "Wstęp do teorii liczb" Wacława Sierpińskiego jest zdaje się ten sam, albo bardzo podobny dowód tego twierdzenia co na Wikipedii, co mogłem sprawdzić jeszcze szybciej zerkając w przypisy artykułu na WIKI.
Zajrzałem na krótko i tutaj tego dowodu nie widzę.janusz47 pisze:Istnieje szereg dowodów tego twierdzenia,
Proponuję dowód Pana Prof. Wacława Sierpińskiego w jego książce Arytmetyka Teoretyczna, PWN Warszawa.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Podstawowe twierdzenie arytmetyki - dowód
Niestety jest tutaj luka. Korzystasz z tego, że jeśli liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ ab}\) to \(\displaystyle{ p|a \vee p|b}\), należy to najpierw udowodnić.OQO pisze:Ja znam taki, prosze mnie poprawic jezeli sie myle:
Pokazanie ze w ogole istnieje rozklad na pierwsze jest bardzo latwe przez indukcje. Teraz jezeli \(\displaystyle{ n=2}\) to w oczywisty sposob rozklad jest jednoznaczny. Zakladamy ze pokazalismy twierdzenie dla wszystkich liczb \(\displaystyle{ 2,3,...,n-1}\) (to jest jedna z rownowaznych wersji tw o indukcji matematycznej, znacznie bardziej wygodna tutaj). Teraz patrzymy na \(\displaystyle{ n}\) i rozkladamy na czynniki pierwsze. Zeby pokazac ze rozklad jest jednoznaczny, zakladamy ze nie jest:
\(\displaystyle{ n=p_1 ... p_s = q_1 ... q_t}\).
Widac stad ze \(\displaystyle{ p_1}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\), czyli dzieli iloczyn \(\displaystyle{ q_1 ... q_t}\), czyli dzieli ktorys z jego czynnikow, rownie dobrze moze byc to \(\displaystyle{ q_1}\). Ale \(\displaystyle{ p_1, q_1}\) sa obie pierwsze, wiec z tej podzielnosci wynika ich rownosc. Dlatego mozemy skrocic stronami przez \(\displaystyle{ p_1}\):
\(\displaystyle{ \frac{n}{p_1} = p_2 ... p_s = q_2 ... q_t}\)
Ale \(\displaystyle{ 1<\frac{n}{p_1}<n}\) wiec mozna skorzystac z zalozenia indukcyjnego, stad rozklad jest jednoznaczny co konczy dowod.
-
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 10 cze 2012, o 20:46
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 2 razy
Podstawowe twierdzenie arytmetyki - dowód
No tak, to wymaga paru krokow wstecz : dowod tego wynika z faktu, ze \(\displaystyle{ d \mid qn \Rightarrow d \mid n}\) jesli \(\displaystyle{ nwd(d,q)=1}\), co z kolei wynika z rozkladu \(\displaystyle{ nwd(a,b) = ax+by}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y}\) co pokazuje sie przez indukcje na \(\displaystyle{ a+b}\).Zordon pisze: Niestety jest tutaj luka. Korzystasz z tego, że jeśli liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ ab}\) to \(\displaystyle{ p|a \vee p|b}\), należy to najpierw udowodnić.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Podstawowe twierdzenie arytmetyki - dowód
Masz rację. Jednak mówienie indukcja "na", bądź też indukcja "po" (chociaż ta wersja jest jeszcze znośna) jest przez niektóre osoby uznawane za poważne przestępstwo. Polecam raz na zawsze przyzwyczaić się do indukcji "względem".OQO pisze: No tak, to wymaga paru krokow wstecz : dowod tego wynika z faktu, ze \(\displaystyle{ d \mid qn \Rightarrow d \mid n}\) jesli \(\displaystyle{ nwd(d,q)=1}\), co z kolei wynika z rozkladu \(\displaystyle{ nwd(a,b) = ax+by}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y}\) co pokazuje sie przez indukcje na \(\displaystyle{ a+b}\).
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Podstawowe twierdzenie arytmetyki - dowód
Indukcyjnie to ja nie lubię. To jest po prostu rozszerzony algorytm Euklidesa, trzeba udowodnić poprawność. Można znaleźć w wielu miejscach.