Nierówności z liczbami pierwszymi

[tatteredspire]

Czy dla każdej liczby \(\displaystyle{ x}\) należącej do zbioru \(\displaystyle{ (-1,1)}\) istnieją liczby pierwsze \(\displaystyle{ p,q}\), że \(\displaystyle{ \cos(p)<x<\cos(q)}\) ?

[Zordon]

To oczywiście powinna być prawda, natomiast wydaje się, że może to być problem otwarty. Przeformułowanie na inny język wygląda następująco: czy ciąg \(\displaystyle{ \frac{p_n}{2\pi}}\) ma punkty skupienia \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) modulo \(\displaystyle{ 1}\). Znanym rezultatem jest to, że \(\displaystyle{ \frac{n}{2\pi}}\) jęst gęsty modulo \(\displaystyle{ 1}\), jednak zbiór liczb pierwszych ma zerową gęstość wśród liczb naturalnych, więc tutaj jest ciężej.