liczby pierwsze będące sumami kwadratów

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 28 cze 2012, o 19:36

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) dla których istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b,c}\), że \(\displaystyle{ p=a^2+b^2+c^2}\).

Zordon · Post autor: **Zordon** » 28 cze 2012, o 21:50

To jest rzecz dosyć klasyczna, natomiast dowód zazwyczaj opiera się na tw. Hasse-Minkowskiego, które jest wysoce nietrywialne. Nie sądze, żeby ktoś mógł wymyślić dowód ad-hoc.

edit: no chyba, że nie wymagasz, żeby a,b,c były niezerowe..., ale wtedy niewiele się zmienia, trzeba dodatkowo rozważać rozkłady na 2 kwadraty, czyli \(\displaystyle{ p=4k+1}\)

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 28 cze 2012, o 23:08

Dzięki Zordon.

MadJack · Post autor: **MadJack** » 28 cze 2012, o 23:28

W Teorii liczb W. Sierpińskiego jest napisane:

Na to, aby liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) rozkładała się na sumę trzech kwadratów liczb całkowitych, potrzeba i wystarcza, by nie była ona postaci \(\displaystyle{ 4^l \cdot (8k+7)}\) dla żadnych \(\displaystyle{ k, l}\) całkowitych nieujemnych.

Jest tam nawet podany dowód konieczności tego warunku, a o dowodzie wystarczalności jest napisane, że jest długi.